Algebraik yopiq guruh - Algebraically closed group

Yilda matematika, sohasida guruh nazariyasi, a guruh ${displaystyle A}$ bu algebraik yopiq agar "mantiqiy" bo'lgan har qanday cheklangan tenglama va tenglamalar to'plami bo'lsa ${displaystyle A}$ ichida echim bor ${displaystyle A}$ keraksiz a guruhni kengaytirish. Ushbu tushunchani maqoladagi keyinchalik aniqroq qilish mumkin 搂 Rasmiy ta'rif.

Norasmiy munozara

Deylik, biz element topishni xohladik ${displaystyle x}$ guruhning ${displaystyle G}$ shartlarni qondirish (tenglama va tenglamalar):

${displaystyle x ^ {2} = 1}$

${displaystyle x ^ {3} = 1}$

${displaystyle xeq 1}$

Buning iloji yo'qligini anglash oson, chunki dastlabki ikkita tenglama nazarda tutadi ${displaystyle x = 1}$. Bunday holda biz shartlar to'plami deymiz nomuvofiq bilan ${displaystyle G}$. (Aslida ushbu shartlar to'plami har qanday guruhga mos kelmaydi.)

${displaystyle G}$
${displaystyle. }$ ${displaystyle {tagiga chizilgan {1}}}$ ${displaystyle {tagiga chizish {a}}}$ ${displaystyle {tagiga chizilgan {1}}}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle {tagiga chizish {a}}}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$

Endi faraz qiling ${displaystyle G}$ ko'paytma jadvali bo'lgan guruh:

Keyin shartlar:

${displaystyle x ^ {2} = 1}$

${displaystyle xeq 1}$

ichida echim bor ${displaystyle G}$, ya'ni ${displaystyle x = a}$.

Ammo shartlar:

${displaystyle x ^ {4} = 1}$

${displaystyle x ^ {2} a ^ {- 1} = 1}$

Yechim yo'q ${displaystyle G}$, osonlikcha tekshirilishi mumkin.

${displaystyle H}$

${displaystyle. }$ ${displaystyle {tagiga chizilgan {1}}}$ ${displaystyle {tagiga chizish {a}}}$ ${displaystyle {tagiga chizish {b}}}$ ${displaystyle {tagiga chizilgan {c}}}$ ${displaystyle {tagiga chizilgan {1}}}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle {tagiga chizish {a}}}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle {tagiga chizish {b}}}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle {tagiga chizilgan {c}}}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$

Ammo agar biz guruhni kengaytirsak ${displaystyle G}$ guruhga ${displaystyle H}$ ko'paytirish jadvali bilan:

Keyin shartlar ikkita echimga ega, ya'ni ${displaystyle x = b}$ va ${displaystyle x = c}$.

Shunday qilib, bunday shartlar bilan bog'liq uchta imkoniyat mavjud:

• Ular bilan mos kelmasligi mumkin ${displaystyle G}$ va kengaytmasida hech qanday echim yo'q ${displaystyle G}$.
• Ular ichida echim bo'lishi mumkin ${displaystyle G}$.
• Ularda echim topilmasligi mumkin ${displaystyle G}$ ammo shunga qaramay, ba'zi bir kengaytmada echim bor ${displaystyle H}$ ning ${displaystyle G}$.

Guruhlar bor-yo'qligini so'rash o'rinli ${displaystyle A}$ Shunday qilib, qachonki shunga o'xshash bir qator shartlar umuman yechimga ega bo'lsa, ular ichida echim bo'ladi ${displaystyle A}$ o'zi? Javob "ha" bo'lib chiqadi va biz bunday guruhlarni algebraik yopiq guruhlar deymiz.

Rasmiy ta'rif

Avvaliga ba'zi dastlabki g'oyalar kerak.

Agar ${displaystyle G}$ guruh va ${displaystyle F}$ bo'ladi bepul guruh kuni hisoblash uchun ko'plab generatorlar, keyin a koeffitsientli cheklangan tenglama va tenglamalar to'plami ${displaystyle G}$ biz bir nechta kichik to'plamlarni nazarda tutamiz ${displaystyle E}$ va ${displaystyle I}$ ning ${displaystyle Fstar G}$ The bepul mahsulot ning ${displaystyle F}$ va ${displaystyle G}$.

Bu o'zgaruvchilardan iborat bo'lgan tenglamalar va tenglamalar to'plami tushunchasini rasmiylashtiradi ${displaystyle x_ {i}}$ va elementlar ${displaystyle g_ {j}}$ ning ${displaystyle G}$. To'plam ${displaystyle E}$ kabi tenglamalarni ifodalaydi:

${displaystyle x_ {1} ^ {2} g_ {1} ^ {4} x_ {3} = 1}$

${displaystyle x_ {3} ^ {2} g_ {2} x_ {4} g_ {1} = 1}$

${displaystyle nuqtalari}$

To'plam ${displaystyle I}$ kabi tengsizliklarni ifodalaydi

${displaystyle g_ {5} ^ {- 1} x_ {3} eq 1}$

${displaystyle nuqtalari}$

Tomonidan yechim yilda ${displaystyle G}$ ushbu cheklangan tenglama va tenglamalar to'plamiga biz gomomorfizmni tushunamiz ${displaystyle f: Fightarrow G}$, shu kabi ${displaystyle {ilde {f}} (e) = 1}$ Barcha uchun ${displaystyle ein E}$ va ${displaystyle {ilde {f}} (i) eq 1}$ Barcha uchun ${displaystyle iin I}$, qayerda ${displaystyle {ilde {f}}}$ noyob gomomorfizmdir ${displaystyle {ilde {f}}: Fstar Gightarrow G}$ bu teng ${displaystyle f}$ kuni ${displaystyle F}$ va identifikator yoqilgan ${displaystyle G}$.

Bu elementlarni almashtirish g'oyasini rasmiylashtiradi ${displaystyle G}$ o'zgaruvchilar uchun haqiqiy identifikatsiya va noaniqliklarni olish. Misolda almashtirishlar ${displaystyle x_ {1} mapsto g_ {6}, x_ {3} mapsto g_ {7}}$ va ${displaystyle x_ {4} mapsto g_ {8}}$ Yo'l bering:

${displaystyle g_ {6} ^ {2} g_ {1} ^ {4} g_ {7} = 1}$

${displaystyle g_ {7} ^ {2} g_ {2} g_ {8} g_ {1} = 1}$

${displaystyle nuqtalari}$

${displaystyle g_ {5} ^ {- 1} g_ {7} ekv 1}$

${displaystyle nuqtalari}$

Tenglama va tenglamalarning chekli to'plami deymiz bilan izchil ${displaystyle G}$ agar ularni "kattaroq" guruhda hal qila olsak ${displaystyle H}$. Rasmiy ravishda:

Tenglama va tenglamalar mos keladi ${displaystyle G}$ agar guruh bo'lsa${displaystyle H}$ va ko'mish ${displaystyle h: Gightarrow H}$ shundayki, cheklangan tenglama va tenglamalar to'plami ${displaystyle {ilde {h}} (E)}$ va ${displaystyle {ilde {h}} (I)}$ ning echimi bor ${displaystyle H}$, qayerda ${displaystyle {ilde {h}}}$ noyob gomomorfizmdir ${displaystyle {ilde {h}}: Fstar Gightarrow Fstar H}$ bu teng ${displaystyle h}$ kuni ${displaystyle G}$ va identifikator yoqilgan ${displaystyle F}$.

Endi biz guruhni rasmiy ravishda aniqlaymiz ${displaystyle A}$ bolmoq algebraik yopiq agar koeffitsientlarga ega bo'lgan har bir cheklangan tenglama va tenglamalar to'plami bo'lsa ${displaystyle A}$ va mos keladi ${displaystyle A}$ ning echimi bor ${displaystyle A}$.

Ma'lum natijalar

Algebraik yopiq guruhlarga aniq misollar keltirish qiyin, chunki quyidagi natijalar shundan dalolat beradi:

• Har bir hisoblanadigan guruhni hisoblash mumkin bo'lgan algebraik yopiq guruhga kiritish mumkin.
• Har bir algebraik yopiq guruh oddiy.
• Hech qanday algebraik yopiq guruh mavjud emas nihoyatda hosil bo'lgan.
• Algebraik yopiq guruh bo'lishi mumkin emas rekursiv tarzda taqdim etilgan.
• Cheklangan guruhda a mavjud echiladigan so'z muammosi agar u faqat har bir algebraik yopiq guruhga joylashtirilishi mumkin bo'lsa.

Ushbu natijalarning dalillari umuman juda murakkab. Biroq, hisoblash mumkin bo'lgan guruhning isboti eskizi ${displaystyle C}$ quyidagi algebraik yopiq guruhga kiritilishi mumkin.

Avval biz joylashtirdik ${displaystyle C}$ hisoblanadigan guruhda ${displaystyle C_ {1}}$ koeffitsientli har bir sonli tenglamalar to'plami xususiyati bilan ${displaystyle C}$ bu mos keladi ${displaystyle C_ {1}}$ ning echimi bor ${displaystyle C_ {1}}$ quyidagicha:

Faqat koeffitsientli sonli tenglama va tenglamalarning sonli to'plamlari mavjud ${displaystyle C}$. Ro'yxatni tuzatish ${displaystyle S_ {0}, S_ {1}, S_ {2}, nuqtalar}$ ulardan. Guruhlarni aniqlang ${displaystyle D_ {0}, D_ {1}, D_ {2}, nuqtalar}$ induktiv ravishda:

${displaystyle D_ {0} = C}$

${displaystyle D_ {i + 1} = chap {{egin {matrix} D_ {i} va {mbox {if}} S_ {i} {mbox {}} D_ {i} langle D_ {i} bilan mos emas , h_ {1}, h_ {2}, nuqta, h_ {n} burchak va {mbox {if}} S_ {i} {mbox {}} Hsupseteq D_ {i} {mbox {da}} x_ bilan echimga ega {j} mapsto h_ {j} 1leq jleq nend {matrix}} ight.}$

Endi ruxsat bering:

${displaystyle C_ {1} = kubok _ {i = 0} ^ {yaroqsiz} D_ {i}}$

Endi guruhlarning ketma-ketligini olish uchun ushbu qurilishni takrorlang ${displaystyle C = C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, nuqtalar}$ va ruxsat bering:

${displaystyle A = kubok _ {i = 0} ^ {infty} C_ {i}}$

Keyin ${displaystyle A}$ o'z ichiga olgan hisoblanadigan guruhdir ${displaystyle C}$. U algebraik ravishda yopiq, chunki unga mos keladigan har qanday cheklangan tenglama va tengsizlar to'plami ${displaystyle A}$ ba'zilarida koeffitsientlar bo'lishi kerak ${displaystyle C_ {i}}$ va shunga o'xshash echim bo'lishi kerak ${displaystyle C_ {i + 1}}$.

Shuningdek qarang

• Algebraik yopilish
  • Algebraik yopiq maydon

Adabiyotlar

• A. Macintyre: algebraik yopiq guruhlarda, ann. Matematika, 96, 53-97 (1972)
• B.H. Neyman: algebraik yopiq guruhlar haqida eslatma. J. London matematikasi. Soc. 27, 227-242 (1952)
• B.H. Neyman: Algebraik yopiq guruhlar uchun izomorfizm muammosi. In: Word muammolari, pp 553 鈥 . Amsterdam: Shimoliy-Gollandiya 1973 yil
• W.R.Skott: Algebraik yopiq guruhlar. Proc. Amer. Matematika. Soc. 2, 118-121 (1951)