Farrel-Jons gumoni - Farrell–Jones conjecture - Wikipedia

Matematikada Farrel-Jons gumoni,[1] nomi bilan nomlangan F. Tomas Farrel va Louell E. Jons, aniq aytadi montaj xaritalari bor izomorfizmlar. Ushbu xaritalar aniq tarzda berilgan homomorfizmlar.

Motivatsiya - bu yig'ilish xaritalarining maqsadiga qiziqish; masalan, bo'lishi mumkin algebraik K-nazariyasi a guruh halqasi

yoki L nazariyasi guruh halqasi

,

qayerda G ba'zi guruh.

Yig'ish xaritalarining manbalari ekvariantli gomologiya nazariyasi bo'yicha baholandi bo'shliqni tasniflash ning G oilasiga nisbatan deyarli tsiklik kichik guruhlar ning G. Farrel-Jons gumoni haqiqat deb taxmin qilsak, murakkab ob'ektlar haqida ma'lumot olish uchun hisoblarni deyarli tsiklik kichik guruhlarga cheklash mumkin. yoki .

The Baum-Konnesning taxminlari shunga o'xshash bayonotni tuzadi topologik K-nazariyasi qisqartirilgan guruh -algebralar .

Formulyatsiya

Har qanday qo'ng'iroqni topish mumkin ekvariantli gomologiya nazariyalari qoniqarli

navbati bilan

Bu yerda belgisini bildiradi guruh halqasi.

Guruh uchun K-nazariy Farrel-Jons gumoni G xaritada ko'rsatilgan homologiyaga izomorfizmni keltirib chiqaradi

Bu yerda belgisini bildiradi bo'shliqni tasniflash guruhning G deyarli tsiklik kichik guruhlar oilasiga nisbatan, ya'ni a G-CW kompleksi kimnikidir izotropiya guruhlari deyarli tsiklik va deyarli har qanday tsiklik kichik guruh uchun G The sobit nuqta o'rnatilgan bu kontraktiv.

L-nazariy Farrel-Jons gumoni o'xshashdir.

Hisoblash jihatlari

Algebraik K guruhlar va L guruhlarni hisoblash ushbu guruhlarda yashovchi to'siqlardan kelib chiqadi (masalan, qarang.) Devorning cheklanganligiga to'sqinlik qilish, jarrohlik obstruktsiyasi, Oq boshning burilishi ). Shunday qilib, bir guruh deylik algebraik K-nazariyasi uchun Farrel-Jons gipotezasini qondiradi. Deylik, biz allaqachon model topdik deyarli tsiklik kichik guruhlar uchun tasniflash maydoni uchun:

Tanlang - Mayer-Vietoris ketma-ketligini qo'llang va ularga qo'llang:

Ushbu ketma-ketlik quyidagilarni soddalashtiradi:

Bu shuni anglatadiki, agar biron bir guruh ma'lum bir izomorfizm gipotezasini qondirsa, uning algebraik nazariyasini (L-nazariyasi) faqat siklik guruhlarning algebraik K-nazariyasini (L-nazariyasi) bilish va unga mos modelni bilish orqali hisoblash mumkin. .

Nima uchun deyarli tsiklik kichik guruhlar oilasi?

Masalan, cheklangan kichik guruhlar oilasini hisobga olishga harakat qilish mumkin. Bu oilani boshqarish ancha oson. Cheksiz tsiklik guruhni ko'rib chiqing . Uchun namuna haqiqiy chiziq bilan berilgan , ustiga tarjimalar orqali erkin harakat qiladi. Ekvariant K-nazariyasining xususiyatlaridan foydalanib, biz olamiz

The Bass-Heller-oqqushlarning parchalanishi beradi

Darhaqiqat, montaj xaritasi kanonik qo'shilish orqali berilganligini tekshiradi.

Demak, bu izomorfizmdir, agar shunday bo'lsa , agar shunday bo'lsa a oddiy uzuk. Shunday qilib, bu holda, albatta, cheklangan kichik guruhlar oilasidan foydalanish mumkin. Boshqa tomondan, bu algebraik K-nazariyasi va cheklangan kichik guruhlar oilasi uchun izomorfizm gumoni haqiqat emasligini ko'rsatadi. Gumonni barcha qarshi misollarni o'z ichiga olgan kichik guruhlarning katta oilasiga etkazish kerak. Hozirda Farrel-Jons gumoniga qarshi misollar ma'lum emas. Agar qarama-qarshi misol bo'lsa, kichik guruhlar oilasini ushbu misolni o'z ichiga olgan katta oilaga kattalashtirish kerak.

Izomorfizm gumonlarining merosi

Farrel-Jons gipotezasini qondiradigan guruhlar sinfi quyidagi guruhlarni o'z ichiga oladi

  • deyarli tsiklik guruhlar (ta'rif)
  • giperbolik guruhlar (qarang [2])
  • CAT (0) - guruhlar (qarang [3])
  • hal etiladigan guruhlar (qarang [4])
  • sinf guruhlarini xaritalash (qarang [5])

Bundan tashqari, sinf quyidagi meros xususiyatlariga ega:

  • Guruhlarning cheklangan mahsulotlari ostida yopiladi.
  • Kichik guruhlar ostida yopilgan.

Meta-gipoteza va tolali izomorfizm gumonlari

Ekvivativ gomologiya nazariyasini tuzing . Bir guruh, deb aytish mumkin G kichik guruhlar oilasi uchun izomorfizm gipotezasini qondiradi, agar va faqat proektsiya tomonidan induktsiya qilingan xarita bo'lsa homologiyaga izomorfizmni keltirib chiqaradi:

Guruh G kichik guruhlar oilasi uchun tolali izomorfizm gipotezasini qondiradi F agar va faqat biron bir guruh homomorfizmi uchun bo'lsa guruh H oila uchun izomorfizm gumonini qondiradi

.

Bunday vaziyatda odam darhol buni oladi shuningdek, oila uchun tolali izomorfizm gipotezasini qondiradi .

Tranzitivlik printsipi

Tranzitivlik printsipi - bu kichik guruhlar oilasini hisobga olish uchun o'zgartirish vositasi. Ikkita oila berilgan ning kichik guruhlari . Deylik, har bir guruh oilaga nisbatan izomorfizm gipotezasini qondiradi .Unda guruh oilaga nisbatan tolali izomorfizm gumonini qondiradi agar va faqat (agar) oilaga nisbatan izomorfizm gumonini qondiradigan bo'lsa .

Izomorfizm gumonlari va guruh homomorfizmlari

Har qanday guruh homomorfizmi berilgan va buni taxmin qiling G "'oila uchun tolali izomorfizm gipotezasini qondiradi F kichik guruhlar. Keyin ham H "'oila uchun tolali izomorfizm gipotezasini qondiradi . Masalan, agar cheklangan yadroli oilaga ega ning deyarli tsiklik kichik guruhlari oilasi bilan rozi H.

Muvofiq oilani yana kamaytirish uchun tranzitivlik printsipidan foydalanish mumkin.

Boshqa taxminlarga aloqalar

Novikov gumoni

Shuningdek, Farrel-Jons gumonidan to ga bog'liqliklar mavjud Novikov gumoni. Ma'lumki, agar quyidagi xaritalardan biri bo'lsa

u oqilona in'ektsiondir, keyin Novikov gumoni mavjud . Masalan, qarang.[6][7]

Yomon taxmin

Bost gipotezasida yig'ilish xaritasi ko'rsatilgan

izomorfizmdir. Halqa gomomorfizmi K-nazariyasida xaritalarni keltirib chiqaradi . Ushbu gomomorfizm bilan yuqori yig'ilish xaritasini tuzish aniq ichida hosil bo'lgan yig'ilish xaritasini oladi Baum-Konnesning taxminlari.

Kaplanskiy taxmin

The Kaplanskiy taxmin integral domen uchun buni taxmin qiladi va torsiyasiz guruh faqat idempotentlar bor . Har bir bunday idempotent proektivni beradi to'g'ri ko'paytma tasvirini olish orqali modul . Demak, Kaplanskiy gumoni va yo'q bo'lib ketishi o'rtasida bog'liqlik mavjud . Kaplanskiy gumonini Farrel-Jons gumoni bilan bog'liq teoremalar mavjud (taqqoslang [8]).

Adabiyotlar

  1. ^ Farrel, F. Tomas, Jons, Louell E., Algebraik K-nazariyadagi izomorfizm gumonlari, Amerika Matematik Jamiyati jurnali, 6-jild, 249-297 betlar, 1993 y
  2. ^ Bartels, Artur; Lyuk, Volfgang; Reyx, Xolger (2006), "K-nazariy Farrell-Jons giperbolik guruhlar gumoni", arXiv:matematik / 0609685
  3. ^ Bartels, Artur; Lyuk, Volfgang; Reyx, Xolger (2009), Giperbolik va CAT (0) guruhlari uchun Borel gipotezasi, arXiv:0901.0442
  4. ^ Wegner, Christian (2013), Farrel-Jons gumoni deyarli hal etiladigan guruhlar uchun, arXiv:1308.2432, Bibcode:2013arXiv1308.2432W
  5. ^ Bartels, Artur; Bestvina, Mladen (2016), "Sinf guruhlarini xaritalash uchun Farrel-Jons gumoni", arXiv:1606.02844 [matematik.GT ]
  6. ^ Ranikki, Endryu A. "Novikov gumoni to'g'risida". Novikov taxminlari, indeks teoremalari va qat'iylik, Vol. 1, (Oberwolfach 2003). Kembrij, Buyuk Britaniya: Kembrij universiteti matbuoti. 272–337 betlar.
  7. ^ Lyuk, Volfgang; Reyx, Xolger (2005). "K- va L nazariyasidagi Baum-Konnes va Farrel-Jons gumonlari". K-nazariyasi qo'llanmasi. Vol. 1,2. Berlin: Springer. 703-842-betlar.
  8. ^ Bartels, Artur; Lyuk, Volfgang; Reyx, Xolger (2008), "Farrel-Jons gumoni va uning qo'llanilishi to'g'risida", Topologiya jurnali, 1 (1): 57–86, arXiv:matematik / 0703548, doi:10.1112 / jtopol / jtm008