Dala arifmetikasi - Field arithmetic

Yilda matematika, maydon arifmetikasi a ning arifmetik xususiyatlari o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni o'rganadigan fan maydon va uning mutlaq Galois guruhi.Bu fanlararo predmetdir, chunki u vositalardan foydalanadi algebraik sonlar nazariyasi, arifmetik geometriya, algebraik geometriya, model nazariyasi, nazariyasi cheklangan guruhlar va of aniq guruhlar.

Cheksiz absolyut Galois guruhlari bo'lgan maydonlar

Ruxsat bering K maydon bo'ling va ruxsat bering G = Gal (K) uning mutlaq Galois guruhi bo'ling. Agar K bu algebraik yopiq, keyin G = 1. Agar K = R haqiqiy sonlar, keyin

${displaystyle G = operator nomi {Gal} (mathbf {C} / mathbf {R}) = mathbf {Z} / 2mathbf {Z}.}$

Bu yerda C bu murakkab sonlar maydoni va Z butun sonlarning halqasi. A Artin va Shrayer teoremasi (bular) cheklangan mutlaq Galois guruhlari uchun barcha imkoniyatlar ekanligini ta'kidlaydi.

Artin-Shrayer teoremasi. Ruxsat bering K mutlaq Galois guruhi bo'lgan maydon bo'ling G cheklangan. Keyin ham K ajratilgan holda yopiladi va G ahamiyatsiz yoki K bu haqiqiy yopiq va G = Z/2Z.

Mutlaq Galuaz guruhlari tomonidan aniqlanadigan maydonlar

Ayrim aniq guruhlar izomorf bo'lmagan maydonlarning mutlaq Galois guruhi sifatida uchraydi. Buning birinchi misoli

${displaystyle {hat {mathbf {Z}}} = lim _ {longleftarrow} mathbf {Z} / nmathbf {Z}.}$

Ushbu guruh o'zboshimchalikning mutlaq Galois guruhiga izomorfdir cheklangan maydon. Shuningdek, maydonning mutlaq Galois guruhi rasmiy Loran seriyasi C((t)) murakkab sonlar ustida ushbu guruh uchun izomorfik bo'ladi.

Yana bir misol olish uchun quyida mutlaq Galois guruhlari erkin bo'lgan ikkita izomorf bo'lmagan maydonni keltiramiz (ya'ni bepul profinite group ).

• Ruxsat bering C bo'lish algebraik yopiq maydon va x o'zgaruvchi. Keyin Gal (C(x)) ning kardinalligiga teng darajadan xoli C. (Bu natija tufayli Adrien Douadi 0 xarakteristikasi uchun va uning kelib chiqishi Riemannning mavjudlik teoremasi. Ixtiyoriy xarakteristikalar maydoni uchun bu sababdir Devid Xarbater va Florian Pop va keyinchalik isbotlangan Dan Xaran va Moshe Jarden.)
• Mutlaqo Galois guruhi Gal (Q) (qaerda Q ratsional sonlar) ixcham va shuning uchun normalizatsiya bilan jihozlangan Haar o'lchovi. Galois avtomorfizmi uchun s (bu Galdagi element (Q)) ruxsat bering N_s ning Galoisning maksimal kengaytmasi bo'lishi Q bu s tuzatishlar. Keyin ehtimollik 1 bilan mutlaq Galois guruhi Gal (N_s) hisoblanadigan darajadan xoli. (Bu natija tufayli Moshe Jarden.)

Yuqoridagi misollardan farqli o'laroq, agar ushbu maydonlar oxirigacha hosil qilingan bo'lsa Q, Florian Pop mutlaq Galois guruhlarining izomorfizmi maydonlarning izomorfizmini keltirib chiqarishini isbotlaydi:

Teorema. Ruxsat bering K, L nihoyatda hosil bo'lgan maydonlar bo'lishi kerak Q va ruxsat bering a: Gal (K) → Gal (L) izomorfizm bo'lishi mumkin. Keyin algebraik yopilishning noyob izomorfizmi mavjud, b: K_alg → L_alg, bu sabab bo'ladi a.

Bu avvalgi ishni umumlashtiradi Yurgen Noykirx va Koji Uchida raqam maydonlarida.

Psevdo algebraik yopiq maydonlar

A soxta algebraik yopiq maydon (qisqacha PAC) K quyidagi geometrik xususiyatni qondiradigan maydon. Har biri mutlaqo qisqartirilmaydi algebraik xilma V aniqlangan K bor K-ratsional nuqta.

PAC maydonlari bo'yicha maydonning arifmetik xususiyatlari va uning mutlaq Galois guruhining guruh nazariy xususiyatlari o'rtasida qat'iy bog'liqlik mavjud. Ushbu ruhdagi yoqimli teorema bir-biriga bog'lanadi Hilbertiya dalalari ω bo'sh joylar bilan (K agar mavjud bo'lsa, ω-bepul ichki muammo uchun K to'g'ri hal qilinadi).

Teorema. Ruxsat bering K PAC maydoni bo'ling. Keyin K Hilbertian bo'lsa va agar shunday bo'lsa K b-bepul.

Piter Roket ushbu teoremaning o'ngdan chapga yo'nalishini isbotladi va teskari yo'nalishni taxmin qildi. Maykl Frid va Helmut Völkayn xarakterli nolda Roketet gumonini aniqlash uchun amaliy algebraik topologiya va kompleks tahlil. Keyinchalik Pop rivojlanib, o'zboshimchalik xarakteristikasi uchun teoremani isbotladi "qattiq yamoq ".

Adabiyotlar

• Frid, Maykl D.; Jarden, Moshe (2004). Dala arifmetikasi. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Qatlam. 11 (2-tahrirlangan va kattalashtirilgan tahr.). Springer-Verlag. ISBN  3-540-22811-X. Zbl  1055.12003.
• Noykirx, Yurgen; Shmidt, Aleksandr; Wingberg, Kay (2000), Son maydonlarining kohomologiyasi, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, JANOB  1737196, Zbl  0948.11001