Grothendieck - Katz p-egrilik gipotezasi - Grothendieck–Katz p-curvature conjecture

Yilda matematika, Grothendieck - Katz p-egrilik gipotezasi a mahalliy-global tamoyil uchun chiziqli oddiy differentsial tenglamalar, bog'liq bo'lgan differentsial Galua nazariyasi va natijada o'xshash bo'shashgan ma'noda Chebotarev zichligi teoremasi sifatida qaraladi polinom ish. Bu taxmin Aleksandr Grothendieck 1960-yillarning oxiridan boshlab va u tomonidan hech qanday shaklda nashr etilmagan.

Yaqinda erishilgan yutuqlarga qaramay, umumiy ish hal etilmay qolmoqda; u algebraik bilan bog'liq geometrik tadqiqotlar bilan bog'liq yaproqlar.

Formulyatsiya

Mumkin bo'lgan sodda bayonotda gumonni shunday yozilgan vektor sistemasi uchun zarur bo'lgan narsalarda ko'rsatish mumkin

vektor uchun v hajmi nva an n×n matritsa A ning algebraik funktsiyalar bilan algebraik raqam koeffitsientlar. Savol: a mavjud bo'lganda mezon berish to'liq to'plam algebraik funktsiya echimlari, bu asosiy matritsani anglatadi (ya'ni.) n vektorli echimlar blokli matritsa ). Masalan, uchun klassik savol gipergeometrik tenglama: qachon uning parametrlari bo'yicha bir juft algebraik echimga ega? Javob klassik sifatida ma'lum Shvartsning ro'yxati. Yilda monodromiya So'zlar cheklangan monodromiya guruhining holatlarini aniqlashda.

Qayta tuzish va kattaroq tizimga o'tish orqali ratsional funktsiyalar muhim ahamiyatga ega A va ratsional son koeffitsientlari. Keyin zarur shart bu deyarli barchasi tub sonlar p, qisqartirish moduli bilan aniqlangan tizim p bilan cheklangan maydon bo'ylab algebraik echimlarning to'liq to'plamiga ega bo'lishi kerak p elementlar.

Grotendikning gumoni shundaki, bu deyarli barcha uchun zarur shart-sharoit p, etarli bo'lishi kerak. Bilan ulanish p- egrilik bu mod p ko'rsatilgan shart xuddi aytgan bilan bir xil p-kursatma, takrorlanadigan operatsiya natijasida hosil bo'ladi A,[1] nolga teng; shuning uchun uni aytishning yana bir usuli bu p- deyarli hamma uchun 0 ga teng p dastlabki tenglamaning etarlicha algebraik echimlarini nazarda tutadi.

Galois guruhi uchun Katsning formulasi

Nikolas Kats murojaat qildi Tannakian toifasi bu taxminning mohiyati bilan aytganda bir xil ekanligini ko'rsatadigan usullar differentsial Galois guruhi G (yoki aniq aytganda Yolg'on algebra g ning algebraik guruh G, bu holda Zariski yopilishi monodromiya guruhi) mod tomonidan aniqlanishi mumkin p ma'lumot, differentsial tenglamalarning ma'lum bir keng sinfi uchun.[2]

Taraqqiyot

Ishlarning keng toifasi isbotlangan Benson Farb va Mark Kisin;[3] bu tenglamalar a mahalliy nosimmetrik xilma-xillik X ba'zi bir guruh-nazariy sharoitlarga bo'ysunadi. Ushbu ish Katzning oldingi natijalariga asoslangan Pikard - Fuks tenglamalari (zamonaviy ma'noda Gauss-Manin aloqasi ), André tomonidan Tannakian yo'nalishida kuchaytirilgan. Shuningdek, ning versiyasi qo'llaniladi supergidlik xususan arifmetik guruhlar. Boshqa yutuqlar arifmetik usullar bilan amalga oshirildi.[4]

Tarix

Nikolas Kats ba'zi holatlar bilan bog'liq edi deformatsiya nazariyasi 1972 yilda, taxminlar nashr etilgan maqolada.[5] O'shandan beri islohotlar nashr etildi. A q-analog uchun farq tenglamalari taklif qilingan.[6]

Kisinning 2009 yilgi Kollok Grotendikdagi ushbu asar haqidagi nutqiga javoban,[7] Kats gipotezaning genezisi haqida shaxsiy ma'lumotlardan qisqacha ma'lumot berdi. Grothendieck buni 1969 yil bahorida jamoat muhokamasida ilgari surdi, ammo bu mavzuda hech narsa yozmadi. Uni ushbu sohaga oid ichki sezgilar olib keldi kristalli kohomologiya, o'sha paytda uning shogirdi tomonidan ishlab chiqilgan Per Berthelot. Qandaydir tarzda ulanish nazariyasidagi "nilpotensiya" tushunchasini va bilan tenglashtirmoqchi bo'linadigan kuch tuzilishi Kristallik nazariyasida standart bo'lib qolgan texnika, Grothendieck taxminni yon mahsulot sifatida ishlab chiqardi.

Izohlar

  1. ^ Daniel Bertran, Bourbaki seminari 750, 1991-2, 5-bo'lim.
  2. ^ Katz, Nikolas M. (1982). "Diferensial tenglamalar arifmetik nazariyasidagi taxmin" (PDF). Buqa. Soc. Matematika. Frantsiya. 110 (2): 203–239. doi:10.24033 / bsmf.1960.
  3. ^ Farb, Benson; Kisin, Mark (2009). "Rigidlik, mahalliy nosimmetrik navlar va Grotehenk-Kats gumoni" (PDF). Int matematik ma'lumotlarga oid ogohlantirishlar. 2009 (22): 4159–4167. CiteSeerX  10.1.1.158.3198. doi:10.1093 / imrn / rnp082.
  4. ^ Chambert-Loir, Antuan (2002). "Théorèmes d'algébrisation en géométrie diophantienne". arXiv:matematik / 0103192.
  5. ^ Katz, Nikolas M. (1972). "Differentsial tenglamalarning algebraik echimlari (p-egrilik va Xodj filtratsiyasi)". Ixtiro qiling. Matematika. 18 (1–2): 1–118. Bibcode:1972InMat..18 .... 1K. doi:10.1007 / BF01389714.
  6. ^ Di Vizio, Lusiya (2002). "Q - farq tenglamalarining arifmetik nazariyasi". Ixtiro qiling. Matematika. 150 (3): 517–578. arXiv:matematik / 0104178. Bibcode:2002InMat.150..517D. doi:10.1007 / s00222-002-0241-z.
  7. ^ Video yozuv.

Adabiyotlar

  • Nikolas M. Kats, Qattiq mahalliy tizimlar, 9-bob.

Qo'shimcha o'qish

  • Jan-Benoit Bost, Algebraik barglarning algebraik barglari sonli maydonlar bo'yicha, Mathématiques de L'IHÉS nashrlari, 93-jild, 1-son, 2001 yil sentyabr
  • Iv André, Grothendieck-da Kat-la va Dwork-ning taxminiy sur'atlari, yilda Dwork nazariyasining geometrik jihatlari (2004), muharrirlar Alan Adolfson, Franchesko Baldassarri, Per Berthelot, Nikolas Kats, Fransua Luzer
  • Anand Pillay (2006), Diferensial algebra va chiziqli differentsial tenglamalar arifmetikasi bo'yicha Grotendik gumonining umumlashtirilishi