Hall samolyoti - Hall plane - Wikipedia

Matematikada a Hall samolyoti a Desarguesian bo'lmagan proektiv tekislik tomonidan qurilgan Marshal Xoll kichik. (1943).[1] Tartibga oid misollar mavjud har bir ajoyib davr uchun p va har bir musbat butun son n taqdim etilgan .[2]

Hall tizimlari orqali algebraik qurilish

Hall samolyotlarining asl konstruktsiyasi Hallga asoslangan edi kvadval (shuningdek, a Zal tizimi), H tartib uchun p asosiy. Samolyotning konstruktsiyasi kvazifildagi standart qurilishdir (qarang Quasifield # Proyektiv samolyotlar tafsilotlar uchun.).

Hall kvadvalini qurish uchun a bilan boshlang Galois maydoni, uchun p tub va kvadratik kamaytirilmaydigan polinom ustida F. Uzaytirish , ikki o'lchovli vektor maydoni tugadi F, vektorlari bo'yicha ko'paytishni aniqlash orqali kvazifildagacha qachon va aks holda.

Elementlarini yozish H <1, λ> asosiga ko'ra, ya'ni (x,y) bilan x + λy kabi x va y farq qiladi F, ning elementlarini aniqlashimiz mumkin F buyurtma qilingan juftliklar sifatida (x, 0), ya'ni x + -0. Vektorli bo'shliqni o'ngga aylantiradigan aniqlangan ko'paytmaning xususiyatlari H kvazif maydoniga quyidagilar kiradi:

  1. ning har bir elementi H emas F f (a) = 0 kvadrat tenglamasini qanoatlantiradi;
  2. F ning yadrosida H (shuni anglatadiki (a + +) c = ac + c, va (a () c = a (βc) barcha a, β da H va hamma c F); va
  3. ning har bir elementi F ning barcha elementlari bilan qatnov (multiplikativ ravishda) H.[3]

Hosil qilish

Hall samolyotlarini ishlab chiqaradigan yana bir qurilish, derivatsiyani qo'llash orqali olinadi Desargeziya samolyotlari.

Proektsion tekislikdagi ba'zi qatorlar to'plamini muqobil to'plamlar bilan yangi tuzilma proektsion tekislik bo'ladigan tarzda almashtiradigan T. G. Ostrom tufayli jarayon hosil qilish. Ushbu jarayonning tafsilotlarini keltiramiz.[4] Bilan boshlang proektsion tekislik tartib va bitta qatorni belgilang uning kabi cheksiz chiziq. Ruxsat bering A bo'lishi afin tekisligi . To'plam D. ning ning nuqtalari deyiladi a hosil qilish to'plami agar har bir aniq nuqta juftligi uchun X va Y ning A safardagi uchrashuvni belgilaydigan bir nuqtada D.bor Baer subplane o'z ichiga olgan X, Y va D. (biz shunday Baer subplaneslarini aytamiz tegishli ga D..) Yangi affin tekisligini aniqlang quyidagicha: ning nuqtalari ning nuqtalari A. Ning satrlari ning satrlari uchrashmaydiganlar nuqtasida D. (cheklangan A) va tegishli bo'lgan Baer subplanes D. (cheklangan A). To'plam afinaviy tartib tekisligi va u yoki uning proektsion tugallanishi a deb nomlanadi olingan tekislik.[5]

Xususiyatlari

  1. Zal samolyotlari tarjima samolyotlari.
  2. 9-tartibli Hall tekisligi - ning yagona proektsion tekisligi Lenz-Barlotti turi IVa.3, cheklangan yoki cheksiz.[6] Boshqa barcha Hall samolyotlari Lenz-Barlotti IVa.1 turiga tegishli.
  3. Xuddi shu tartibdagi barcha cheklangan Hall tekisliklari izomorfdir.
  4. Zal samolyotlari emas o'z-o'zini dual.
  5. Barcha sonli Hall samolyotlari 2-tartibli subplanlarni o'z ichiga oladi (Fano subplanes ).
  6. Barcha sonli Hall samolyotlari 2 dan farqli tartibli pastki samolyotlarni o'z ichiga oladi.
  7. Zal samolyotlari André samolyotlari.

Eng kichik Hall samolyoti (buyurtma 9)

9-sonli Hall samolyoti aslida ilgari topilgan Osvald Veblen va Jozef Vedberbern 1907 yilda.[7] To'qqiz tartibli to'rtta kvadrat maydon mavjud bo'lib, ular to'qqizinchi darajadagi Hall tekisligini qurish uchun ishlatilishi mumkin. Ulardan uchtasi qisqartirilmaydigan polinomlar tomonidan yaratilgan Hall tizimlari , yoki . [8] Ulardan birinchisi assotsiativ kvazifild hosil qiladi,[9] ya'ni a yaqin maydon va shu nuqtai nazardan samolyot Veblen va Vedderbern tomonidan kashf etilgan. Ushbu samolyot ko'pincha to'qqizinchi darajadagi yaqin samolyot deb ataladi.

Izohlar

  1. ^ Kichik Xoll (1943)
  2. ^ Garchi konstruktsiyalar 4-tartibli proektsion tekislikni ta'minlasa ham, bunday noyoblik shundaydir Desarguesian va odatda Hall samolyoti deb hisoblanmaydi.
  3. ^ Xyuz va Piper (1973), pg. 183)
  4. ^ Xyuz va Piper (1973), 202–218 betlar, X bob. Hosil qilish)
  5. ^ Xyuz va Piper (1973), pg. 203, teorema 10.2)
  6. ^ Dembovski, Piter (1968), Cheklangan geometriyalar, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 44-band, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, JANOB  0233275, 126-bet.
  7. ^ Veblen va Uedderbern (1907)
  8. ^ Stivenson (1972), 333–334 betlar)
  9. ^ Xyuz va Piper (1973), pg. 186)

Adabiyotlar