Xartoglar - Rozental teoremasi - Hartogs–Rosenthal theorem

Yilda matematika, Xartoglar - Rozental teoremasi klassik natijadir kompleks tahlil ustida bir xil yaqinlashish ning ixcham kichik to'plamlaridagi doimiy funktsiyalar murakkab tekislik tomonidan ratsional funktsiyalar. Teorema 1931 yilda nemis matematiklari tomonidan isbotlangan Fridrix Xartogs va Artur Rozental va ayniqsa keng qo'llanilgan operator nazariyasi.

Bayonot

Xartoglar-Rozental teoremasida, agar shunday bo'lsa, deyilgan K bilan murakkab tekislikning ixcham pastki qismi Lebesg o'lchovi nol, keyin har qanday uzluksiz kompleks qiymatli funktsiya yoqiladi K ratsional funktsiyalar bo'yicha bir tekis taqqoslanishi mumkin.

Isbot

Tomonidan Tosh-Veyerstrass teoremasi har qanday murakkab qiymatli doimiy funktsiya K in polinom bilan teng ravishda tenglashtirilishi mumkin ${ displaystyle z}$ va ${ displaystyle { overline {z}}}$.

Shuning uchun buni ko'rsatish kifoya ${ displaystyle { overline {z}}}$ ni ratsional funktsiya bilan bir tekis taqqoslash mumkin K.

Ruxsat bering g (z) bo'lishi a silliq funktsiya ixcham qo'llab-quvvatlash yoqilgan C 1 ga teng K va sozlang

${ displaystyle f (z) = g (z) cdot { overline {z}}.}$

Tomonidan umumlashtirilgan Koshi integral formulasi

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {2 pi i}} iint _ {C teskari egri chiziq K} { frac { qismli f} { qisman { bar {w}}}} { frac {dw wedge d { bar {w}}} {wz}},}$

beri K nol o'lchoviga ega.

Cheklash z ga K va qabul qilish Riman taxminiy yig'indilar o'ng tomonda joylashgan integral uchun kerakli bir xil yaqinlashuv hosil bo'ladi ${ displaystyle { bar {z}}}$ ratsional funktsiya bo'yicha.^[1]

Shuningdek qarang

• Runge teoremasi
• Mergelyan teoremasi

Izohlar

Adabiyotlar

• Konuey, Jon B. (1995), Bitta murakkab o'zgaruvchining funktsiyalari II, Matematikadan aspirantura matnlari, 159, Springer, p. 197, ISBN  0387944605
• Conway, Jon B. (2000), Operatorlar nazariyasi kursi, Matematika aspiranturasi, 21, Amerika matematik jamiyati, 175-176 betlar, ISBN  0821820656
• Gamelin, Teodor V. (2005), Bir xil algebralar (2-nashr), Amerika matematik jamiyati, 46-47 betlar, ISBN  0821840495
• Xartoglar, Fridrixlar; Rozental, Artur (1931), "Über Folgen analytischer Funktionen", Matematik Annalen, 104: 606–610, doi:10.1007 / bf01457959