O'rtacha chiqarib tashlangan qonun - Law of excluded middle

Yilda mantiq, chiqarib tashlangan o'rta qonun (yoki chiqarib tashlangan o'rtaning printsipi) har qanday kishi uchun taklif, yoki bu taklif to'g'ri yoki uning inkor haqiqat.^{[bahsli – muhokama qilish]} Bu shunday nomlangan narsalardan biri fikrning uchta qonuni bilan birga qarama-qarshiliklar qonuni, va hisobga olish qonuni. Chiqarilgan o'rta qonuni mantiqan zid bo'lmagan qonunga tengdir De Morgan qonunlari; ammo, hech qanday mantiq tizimi faqat shu qonunlar asosida qurilgan va bu qonunlarning hech biri ta'minlamaydi xulosa qilish qoidalari, kabi modus ponens yoki De Morgan qonunlari.

Qonun, shuningdek, qonun (yoki tamoyil) chiqarib tashlangan uchdan bir qismi, yilda Lotin principium tertii exclusi. Ushbu qonunning yana bir lotincha belgilanishi tertium non datur: "uchinchi (imkoniyat) berilmaydi". Bu tavtologiya.

Printsipni semantik bilan aralashtirib yubormaslik kerak ikkilanish printsipi, bu har bir taklif haqiqat yoki yolg'on ekanligini bildiradi. Ikkilanish printsipi har doim chiqarib tashlangan o'rta qonunni nazarda tutadi, aksincha har doim ham to'g'ri emas. Odatda keltirilgan qarshi misol hozirda tasdiqlanmaydigan, ammo kelajakda isbotlanadigan, ikkilanganlik printsipi ishlamay qolganda chiqarib tashlangan o'rtadagi qonun amal qilishi mumkinligini ko'rsatadigan bayonotlardan foydalanadi.^[1]

Tarix

Aristotel

Eng qadimgi formulalar Aristotelning munozarasida qarama-qarshilikning yo'qligi printsipi, birinchi marta taklif qilingan Interpretatsiya to'g'risida,^[2] qaerda u ikkitasini aytadi qarama-qarshi takliflar (ya'ni bitta taklif boshqasini inkor qilish bo'lsa) biri to'g'ri, boshqasi yolg'on bo'lishi kerak.^[3] U shuningdek buni printsip sifatida ta'kidlaydi Metafizika 3-kitob, har holda tasdiqlash yoki inkor qilish zarurligini aytib,^[4] va qarama-qarshilikning ikki qismi o'rtasida biron bir narsa bo'lishi mumkin emas.^[5]

Aristotel noaniqlik noaniq nomlarning ishlatilishidan kelib chiqishi mumkin, ammo faktlarning o'zida mavjud bo'lishi mumkin emasligini yozgan:

Demak, "odam bo'lish" aniq "erkak emas" degani bo'lishi mumkin emas, agar "odam" nafaqat bitta mavzuga tegishli narsani anglatsa, balki bitta ahamiyatga ega bo'lsa. ... Va xuddi shunday bo'lish va bo'lmaslik mumkin bo'lmaydi, faqat noaniqlik fazilati bundan mustasno, xuddi biz "odam" deb atagan kishini, boshqalari esa "odam emas" deb chaqirgandek; ammo gap shu erda emas, balki bir xil narsa bir vaqtning o'zida ismli odam bo'lishi mumkinmi yoki yo'qmi, balki aslida bo'lishi mumkinmi. (Metafizika 4.4, D.D.Ross (tarjima), GBWW 8, 525-526).

Aristotelning "bir xil narsada bo'lish va bo'lmaslik mumkin bo'lmaydi" degan fikri, bu proportsional mantiqda ¬ (P ∧ ¬P), zamonaviy mantiqchilar chiqarib tashlangan o'rta (P ∨ ¬P), chunki Aristotelning fikrini inkor etish taqsimoti ularni hech bo'lmaganda hech qanday bayonot bermaslik haqidagi da'volaridan qat'iy nazar ularni tenglashtirmoqda. ikkalasi ham true va false, ikkinchisi esa har qanday bayonotni talab qiladi yoki To'g'ri yoki noto'g'ri.

Ammo Aristotel yana shunday yozadi: "ziddiyatlar bir vaqtning o'zida bir narsaga to'g'ri kelishi mumkin emasligi sababli, qarama-qarshiliklar ham bir vaqtning o'zida bir narsaga tegishli bo'lishi mumkin emas" (IV kitob, CH 6, 531-bet). Keyin u "qarama-qarshiliklar o'rtasida oraliq narsa bo'lishi mumkin emas, lekin bitta mavzu bo'yicha biz biron bir predikatni tasdiqlashimiz yoki rad etishimiz kerak" (IV kitob, CH 7, 531-bet) taklif qiladi. Aristotelning kontekstida an'anaviy mantiq, bu chiqarib tashlangan o'rta qonunning juda aniq bayonoti, P ∨ ¬P.

Shuningdek, Interpretatsiya to'g'risida, Aristotel vaziyatda chiqarib tashlangan o'rtadagi qonunni inkor etgandek kelajakdagi kontingentlar, dengiz jangidagi munozarasida.

Leybnits

Uning odatiy shakli "Har qanday hukm haqiqat yoki yolg'ondir" [9-izoh] ... "(van Heijenoortdagi Kolmogorovdan, 421-bet) 9-izoh:" Bu Leybnits juda oddiy formulalar (qarang Nouveaux Essais, IV, 2) "(o'sha erda 421-bet)

Bertran Rassel va Matematikaning printsipi

Ushbu tamoyil a teorema ning taklif mantig'i tomonidan Rassel va Whitehead yilda Matematikaning printsipi kabi:

${displaystyle mathbf {* 2cdot 11}. vdash. p vee himsim p}$.^[6]

Xo'sh, shunchaki "haqiqat" va "yolg'on" nima? Ochilish vaqtida Bosh vazir ba'zi bir ta'riflarni tezda e'lon qiladi:

Haqiqat qadriyatlari. Taklifning "haqiqat-qiymati" bu haqiqat agar bu to'g'ri bo'lsa va yolg'on agar u yolg'on bo'lsa * [* Bu ibora Frege tufayli kelib chiqqan] ... "p-q" ning haqiqat qiymati, agar p yoki q ning haqiqat qiymati haqiqat bo'lsa, aks holda yolg'ondir ... "~ p" ning teskarisi p ... "(7-8-betlar)

Bu juda ko'p yordam emas. Ammo keyinchalik, yanada chuqurroq muhokamada ("Haqiqat va yolg'onning ta'rifi va tizimli noaniqligi" II bob III qism, 41-bet, ff), Bosh vazir haqiqatni va yolg'onni "a" va "b" va "idrok etuvchi" o'rtasidagi munosabatlar nuqtai nazaridan belgilaydi. Masalan, "Bu" a "-" b "" (masalan, "bu" ob'ekt "," qizil ""), aslida "" ob'ekt a '- bu "sens-datum" va "" qizil "- bu" " , va ular bir-biriga va "men" ga nisbatan "turishadi". Demak, biz aslida nimani nazarda tutmoqdamiz: "Men" bu narsa a qizil rang "ekanligini tushunaman" va bu inkor etilmaydigan "haqiqat".

Bosh vazir "hissiyot" va "sensatsiya" o'rtasidagi farqni aniqlaydi:

Ya'ni, "bu qizil" deb hukm qilganimizda (aytaylik), uchta atamaning aloqasi, aql va "bu" va "qizil". Boshqa tomondan, biz "bu qizarishni" anglaganimizda, ikkita atamaning aloqasi mavjud, ya'ni aql va "bu qizarish" murakkab ob'ekti (43-44-betlar).

Rassel o'z kitobida "sens-datum" va "sensation" o'rtasidagi farqni takrorladi Falsafa muammolari (1912), bilan bir vaqtda nashr etilgan Bosh vazir (1910–1913):

Zudlik bilan hissiyotda ma'lum bo'lgan narsalarga "sezgi-ma'lumotlar" nomini beraylik: ranglar, tovushlar, hidlar, qattiqlik, pürüzlülük va hokazo. Bu narsalardan darhol xabardor bo'lish tajribasiga biz "sensatsiya" nomini beramiz ... Rangning o'zi sensatsiya emas, sensatsiya. (12-bet)

Rassel o'zining "haqiqat" va "yolg'on" ta'riflari ortidagi mulohazalarini yana o'sha kitobda bayon qildi (XII bob, Haqiqat va yolg'on).

Chiqarilgan o'rta qonunning oqibatlari Matematikaning printsipi

O'chirilgan o'rta qonundan, formula -2.1 in Matematikaning printsipi, Uaytxed va Rassel mantiqchining argumentatsiya vositalari to'plamidagi eng kuchli vositalardan birini olishadi. (In.) Matematikaning printsipi, formulalar va takliflar etakchi yulduzcha va "✸2.1" kabi ikkita raqam bilan aniqlanadi.)

✸2.1 ~p ∨ p "Bu chiqarib tashlangan o'rta qonun" (Bosh vazir, p. 101).

✸2.1 ning isboti taxminan quyidagicha: "ibtidoiy g'oya" 1.08 belgilaydi p → q = ~p ∨ q. O'zgartirish p uchun q ushbu qoidada hosil bo'ladi p → p = ~p ∨ p. Beri p → p to'g'ri (bu alohida isbotlangan 2.08 teorema), keyin ~p ∨ p haqiqat bo'lishi kerak.

✸2.11 p ∨ ~p (Tasdiqlarni tasdiqlash 1.4 aksiomasi bilan ruxsat etiladi)
✸2.12 p → ~(~p) (Ikki marta inkor etish printsipi, 1-qism: agar "bu atirgul qizil bo'lsa" rost bo'lsa, "" bu atirgul qizil emas "degani haqiqat".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p}} (Lemma 2.12 ni olish uchun ishlatiladigan 2.12 bilan birga)
✸2.14 ~(~p) → p (Ikkala inkor etish printsipi, 2-qism)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (To'rtta "Transpozitsiya tamoyillari" dan biri. 1.03, 1.16 va 1.17 ga o'xshash. Bu erda juda uzoq namoyish talab qilingan edi.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) ("Agar bu atirgul qizil bo'lsa, u cho'chqa uchadi" degani rost bo'lsa, demak "agar bu cho'chqa uchmasa, u atirgul qizil emas".)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) ("Transpozitsiya tamoyillari" dan yana biri.)
✸2.18 (~p → p) → p ("To'ldiruvchi" deb nomlangan reductio ad absurdum. Unda aytilishicha, qaysi taklif dan kelib chiqadi o'z yolg'onligi haqidagi faraz haqiqat "(Bosh vazir, 103-104-betlar).)

Ushbu teoremalarning aksariyati, xususan -2.1, -2.11 va -2.14 - intuitivizm tomonidan rad etilgan. Ushbu vositalar Kolmogorov "Xilbertning to'rtta aksiomasi" va "Xilbertning ikkita inkor aksiomasi" (Kolmogorov van Heijenoort, 335-bet) deb keltirgan yana bir shaklga qaytdi.

.122.12 va ✸2.14 takliflari, "ikkilangan inkor": The intuitivist ning yozuvlari L. E. J. Brouver u "the" deb nomlagan narsaga murojaat qiling ko'p turlarning o'zaro bog'liqligi printsipi, ya'ni har bir tizim uchun mulkning to'g'riligi ushbu xususiyatning mumkin emasligidan kelib chiqadi degan tamoyil "(Brouwer, o'sha erda, 335-bet).

Ushbu tamoyil odatda "ikki baravar inkor etish printsipi" deb nomlanadi (Bosh vazir, 101-102 betlar). O'chirilgan o'rta qonunidan (-2.1 va -2.11), Bosh vazir ✸2.12 printsipini darhol chiqaradi. Biz ~ o'rnini bosamizp uchun p 2.11 da hosil berishp ∨ ~(~p) va implikatsiya ta'rifi bo'yicha (ya'ni 1.01 p → q = ~ p-q) keyin ~ p ∨ ~ (~ p) = p → ~ (~ p). QED (2.14 ning chiqarilishi biroz ko'proq bog'liqdir.)

Reyxenbax

Bu hech bo'lmaganda ikki valentli mantiq uchun to'g'ri, ya'ni. buni a bilan ko'rish mumkin Karnaugh xaritasi - bu qonun "o'rtasini" olib tashlaydi inklyuziv-yoki uning qonunida ishlatilgan (3). Va bu ba'zilar ishonadigan Reyxenbax namoyishining mohiyati eksklyuziv- yoki o'rnini egallashi kerak shu jumladan- yoki.

Reyxenbax (masalan, juda texnik ma'noda) quyidagicha fikr yuritadi:

Uchinchi darajali emas

29. (x)[f(x) ∨ ~f(x)]

asosiy ma'noda to'liq emas va shuning uchun shishgan formuladir. Ehtimol, nima uchun ba'zi odamlar (29) ni inklyuziv-'yoki' bilan yozishni asossiz deb bilishini va uni belgisi bilan yozishni istashlarini tushuntirishi mumkin. eksklyuziv"yoki"

30. (x)[f(x) ⊕ ~f(x)], bu erda "⊕" belgisi anglatadi eksklyuziv yoki^[7]

qaysi shaklda u to'liq to'liq va shuning uchun tor ma'noda nomologik bo'ladi. (Reyxenbax, 376-bet)

(30) qatorda "(x)" "hamma uchun" yoki "har bir kishi uchun" degan ma'noni anglatadi, bu shakl Rassel va Reyxenbax tomonidan qo'llaniladi; bugungi kunda ramziylik odatda ${displaystyle forall}$ x. Shunday qilib, iboraning namunasi quyidagicha ko'rinadi:

• (cho'chqa): (Chivinlar(cho'chqa) ⊕ ~Chivinlar(cho'chqa))
• (Ko'rilgan va ko'rilmagan "cho'chqa" holatlari uchun): ("Cho'chqa uchadi" yoki "cho'chqa uchmaydi", lekin ikkalasi ham bir vaqtning o'zida emas)

Mantiqchilar intuitivistlarga qarshi

1800-yillarning oxiridan 1930-yillarga qadar Hilbert va uning izdoshlari o'rtasida achchiq va doimiy munozara avj oldi. Hermann Veyl va L. E. J. Brouver. Brouverning falsafasi, deb nomlangan sezgi, bilan astoydil boshlandi Leopold Kronecker 1800 yillarning oxirlarida.

Hilbert Kroneckerning g'oyalarini qattiq yoqtirmasdi:

Kronekker qurilishsiz mavjudot bo'lishi mumkin emasligini ta'kidladi. Uning uchun Pol Gordanga (yana bir keksa matematik) kelsak, Xilbertning o'zgarmas tizim asosining cheklanganligini isbotlashi shunchaki matematika emas edi. Boshqa tomondan, Hilbert o'z hayoti davomida, agar kimdir kontseptsiyaga berilgan xususiyatlar hech qachon qarama-qarshilikka olib kelmasligini isbotlasa, kontseptsiyaning matematik borligi shu bilan o'rnatilishini ta'kidlashi kerak edi (Reid 34-bet).

Bu [Kronecker] ning ta'kidlashicha, hech narsa matematik mavjudot deb bo'lmaydi, agar u haqiqatan ham sonli musbat sonlar bilan qurilmasa (Reid 26-bet).

Bahs Hilbertga qattiq ta'sir qildi. Reid shuni ko'rsatadiki Hilbertning ikkinchi muammosi (bittasi Hilbertning muammolari 1900 yilda Parijda bo'lib o'tgan Ikkinchi Xalqaro Konferentsiyadan) ushbu bahsdan kelib chiqdi (asl nusxada kursiv):

Ikkinchi muammosida [Hilbert] a so'ragan edi matematik isbot haqiqiy sonlar arifmetikasi aksiomalarining izchilligi.

Ushbu muammoning ahamiyatini ko'rsatish uchun u quyidagi kuzatuvni qo'shib qo'ydi:

"Agar qarama-qarshi atributlar kontseptsiyaga berilsa, men aytaman matematik jihatdan kontseptsiya mavjud emas"(Reid p. 71-bet)

Shunday qilib Xilbert shunday dedi: "Agar p va ~p ikkalasi ham to'g'ri ekanligi ko'rsatilgan p mavjud emas "va shu bilan chiqarib tashlangan o'rta qonunni qarama-qarshilik qonuniga aylantirdi.

Va nihoyat konstruktivistlar ... matematikani cheklangan yoki potentsial (lekin aslida emas) tuzilmalar bo'yicha aniq operatsiyalarni o'rganish bilan chekladilar; tugallangan cheksiz jamlar ... rad etildi, shuningdek, O'chirilgan O'rta qonuniga asoslangan bilvosita dalillar. Konstruktivistlar orasida eng radikal intuitivistlar bo'lib, ular etakchi topolog L. E. J. Bruver boshchiligida bo'lgan (Douson 49-bet).

1900-yillarning boshlarida 20-asrning 20-yillariga qadar shov-shuvli bahslar davom etdi; 1927 yilda Brouwer "shafqatsiz ohangda unga qarshi [intuitivizm] polemitsizatsiya qilishdan" shikoyat qildi (Brouwer van Heijenoort, 492-bet). Ammo bahs munozarali bo'ldi: natijada Matematikaning printsipi (1910-1913) va ushbu asar chetlashtirilgan o'rta qonunga aniq ta'rif berdi va bularning barchasi 20-asr boshlarida matematiklar uchun zarur bo'lgan intellektual muhitni va vositalarni taqdim etdi:

Jahldorlikdan va qisman uning yordamida tug'ilib, bir nechta muhim mantiqiy o'zgarishlar yuzaga keldi ... Zermelo to'plamlar nazariyasini aksiomatizatsiyasi (1908a) ... ikki yil o'tib, birinchi jildi Matematikaning printsipi ... bu erda Rassel va Uaytxid turlar nazariyasi orqali arifmetikaning ko'p qismini mantiqiy vositalar yordamida qanday rivojlantirish mumkinligini ko'rsatdilar (Douson 49-bet).

Brouwer munozarani "salbiy" yoki "yo'qlik" dan "konstruktiv" dalilga asoslangan dalillardan foydalanishga qisqartirdi:

Brouverning fikriga ko'ra, ob'ekt berilgan xususiyatga ega ekanligi haqidagi bayonot, shuni anglatadiki, faqat hech bo'lmaganda bunday ob'ektni topishga yoki qurishga imkon beradigan usul ma'lum bo'lganda ...

Tabiiyki, Hilbert bunga qo'shilmadi.

"sof mavjudlik isboti ilm-fanimizning tarixiy rivojlanishidagi eng muhim belgi bo'ldi", deb ta'kidladi u. (Reid p. 155)

Brouwer ... chetlatilgan o'rtaning mantiqiy printsipini qabul qilishdan bosh tortdi ... Uning argumenti quyidagicha edi:

"Faraz qilaylik, A so'zi" Bu erda to'plam a'zosi mavjud S mulkka ega bo'lish P"Agar to'plam cheklangan bo'lsa, unda har bir a'zoni tekshirish mumkin - asosan S va a'zosi borligini aniqlang S mol-mulk bilan P yoki har bir a'zoning S mulk etishmayapti P. Shuning uchun cheklangan to'plamlar uchun Brouwer chiqarib tashlangan o'rtadagi printsipni haqiqiy deb qabul qildi. U cheksiz to'plamlar uchun qabul qilishdan bosh tortdi, chunki to'plam bo'lsa S cheksizdir, biz to'plamning har bir a'zosini tekshira olmaymiz, hatto printsipial jihatdan ham. Agar tekshiruv davomida biz mol-mulk bilan to'plamning a'zosini topsak P, birinchi muqobil asosli; ammo biz hech qachon bunday a'zoni topmasak, ikkinchi alternativa hali ham isbotlanmagan.

Matematik teoremalar ko'pincha inkor bizni qarama-qarshilikka olib kelishi mumkinligini isbotlaganligi sababli, Brouwer taklif qilgan ushbu uchinchi imkoniyat hozirgi paytda qabul qilingan matematik bayonotlarning ko'pini shubha ostiga qo'yishi mumkin.

"Matematikdan chiqarib tashlangan O'rta printsipini olish, - dedi Xilbert, - bokschiga mushtlarini ishlatishni taqiqlash bilan barobar".

"Mumkin bo'lgan yo'qotish Veylni bezovta qilmagandek ... Brouverning dasturi kelayotgan narsa edi, u Tsyurixdagi do'stlariga murojaat qildi." (Reid, 149-bet)}}

1941 yilda Yeldagi ma'ruzasida va keyingi maqolada Gödel echim taklif qildi: "universal taklifni inkor etishni qarshi misolning mavjudligini tasdiqlash deb tushunish kerak edi" (Douson, 157-bet)).

Gödelning chiqarib tashlangan o'rta qonuniga yondashuvi, "" taxminiy ta'riflar "dan foydalanish" ga qarshi e'tirozlar "taklif qilingan hisob-kitoblarning chiqarib tashlangan o'rta va tegishli teoremalari qonuni" ga qaraganda "ko'proq og'irliklarga ega" deb ta'kidlashdan iborat edi (Dawson p. 156). U o'zining "tizimini proposed ... ni taklif qildi va u o'z talqinidagi bir nechta dasturlarni eslatib o'tdi. Ularning orasida quyidagilarning izchilligi isbotlandi: intuitivistik mantiq ~ (∀A: (A ∨ ~ A)) printsipidan (∃ A: ~ (A ∨ ~ A) taxminining nomuvofiqligiga qaramay "" (Douson, 157-bet)

Bahslar zaiflashganday tuyuldi: matematiklar, mantiqchilar va muhandislar o'zlarining kundalik ishlarida chiqarib tashlangan o'rta (va ikkilangan inkor) qonunlaridan foydalanishda davom etishmoqda.

Chetlatilgan o'rta qonunning (printsipning) intuitivist ta'riflari

Quyidagilar "bilish" ma'nosini anglatuvchi chuqur matematik va falsafiy muammoni yoritib beradi, shuningdek, "qonun" nimani anglatishini (ya'ni qonun aslida nimani anglatishini) tushuntirishga yordam beradi. Ularning qonun bilan bog'liq qiyinchiliklari paydo bo'ladi: ular tekshirib bo'lmaydigan (tekshirib bo'lmaydigan, bilib bo'lmaydigan) yoki imkonsiz yoki yolg'ondan kelib chiqadigan haqiqiy natijalarni qabul qilishni xohlamaydilar. (Barcha kotirovkalar van Heijenoortdan olingan, kursiv qo'shilgan).

Brouwer o'zining "chiqarib tashlangan o'rta printsipi" ta'rifini taklif qiladi; biz bu erda "sinovga layoqatlilik" masalasini ham ko'ramiz:

Yuqorida aytib o'tilgan sinovga asoslanganligi sababli, ma'lum bir cheklangan asosiy tizimda yaratilgan xususiyatlar uchun "chiqarib tashlangan o'rta printsipi" mavjud, ya'ni har bir tizim uchun har bir mulk to'g'ri yoki to'g'ri bo'lishi printsipi [richtig] yoki imkonsizdir, va xususan, bir-birini to'ldiruvchi turlarning o'zaro bog'liqligi printsipi, ya'ni har bir tizim uchun mulkning to'g'riligi ushbu xususiyatning mumkin emasligidan kelib chiqadi. (335)

Kolmogorov 's ta'rifida Hilbertning ikkita inkor aksiomasi keltirilgan

5. A → (~A → B)
6. (A → B) → { (~A → B) → B}

Hilbertning birinchi inkor aksiomasi, "har qanday narsa yolg'ondan kelib chiqadi", faqat birinchi implikatsiya aksiyomasi kabi ramziy mantiqning ko'tarilishi bilan paydo bo'ldi .... shu bilan birga ... ko'rib chiqilayotgan aksioma [5-aksiya] bir narsani tasdiqlaydi mumkin bo'lmagan narsaning oqibatlari haqida: biz qabul qilishimiz kerak B agar haqiqiy hukm bo'lsa A yolg'on deb hisoblanadi ...

Hilbertning ikkinchi inkor aksiomasi chiqarib tashlangan o'rtadagi printsipni ifodalaydi. Bu erda printsip, bu hosilalar uchun ishlatiladigan shaklda ifodalanadi: agar B dan kelib chiqadi A shuningdek ~ danA, keyin B haqiqat. Uning odatdagi shakli, "har qanday hukm to'g'ri yoki yolg'ondir" yuqorida keltirilganga tengdir ".

Inkorning birinchi talqinidan, ya'ni hukmni haqiqat deb taqiqlashdan chiqarib tashlangan o'rta printsipi haqiqat ekanligini tasdiqlash mumkin emas ... Brouwer shuni ko'rsatdiki, bunday transfinite hukmlar holatida chiqarib tashlangan o'rtani aniq deb hisoblash mumkin emas

izoh 9: "Bu Leybnitsning juda oddiy formulasi (qarang. qarang) Nouveaux Essais, IV, 2). Formulyatsiya "A ham B yoki yo'qmi-B"hukmlar mantig'iga aloqasi yo'q.

izoh 10: "Ikkinchi shakl ramziy ma'noda shunday ifodalanadi

A ∨ ~A

bu erda ∨ "yoki" degan ma'noni anglatadi. Ikkala shaklning tengligi osongina isbotlanadi (421-bet).

Misollar

Masalan, agar P taklif:

Suqrot o'likdir.

u holda chiqarib tashlangan o'rta qonuni mantiqiy disjunktsiya:

Yoki Suqrot o'likdir, yoki Suqrot o'likdir.

faqat shakli tufayli haqiqatdir. Ya'ni, "o'rta" pozitsiya, Suqrot o'lik ham emas, ham o'lik ham emas, mantiq bilan istisno qilinadi va shuning uchun ham birinchi imkoniyat (Suqrot o'likdir) yoki uni inkor qilish (Suqrot o'lim holatida emas) to'g'ri bo'lishi kerak.

Olib tashlangan o'rta qonuniga bog'liq bo'lgan argumentga misol quyidagicha.^[8] Biz buni isbotlashga intilamiz

ikkitasi bor mantiqsiz raqamlar ${displaystyle a}$ va ${displaystyle b}$ shu kabi ${displaystyle a ^ {b}}$ oqilona.

Ma'lumki ${displaystyle {sqrt {2}}}$ mantiqsiz (qarang. qarang dalil ). Raqamni ko'rib chiqing

${displaystyle {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}$.

Shubhasiz (o'rtadan chiqarib tashlangan) bu raqam oqilona yoki mantiqsiz. Agar u oqilona bo'lsa, dalil to'liq va

${displaystyle a = {sqrt {2}}}$ va ${displaystyle b = {sqrt {2}}}$.

Ammo agar ${displaystyle {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}$ mantiqsiz, keyin ruxsat bering

${displaystyle a = {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}$ va ${displaystyle b = {sqrt {2}}}$.

Keyin

${displaystyle a ^ {b} = left ({sqrt {2}} ^ {sqrt {2}} ight) ^ {sqrt {2}} = {sqrt {2}} ^ {left ({sqrt {2}} cdot) {sqrt {2}} ight)} = {sqrt {2}} ^ {2} = 2}$,

va 2, albatta, oqilona. Bu dalilni yakunlaydi.

Yuqoridagi dalilda "bu raqam oqilona yoki mantiqsiz" degan fikr chiqarib tashlangan o'rtadagi qonunni keltirib chiqaradi. An intuitivist, masalan, ushbu bayonotni qo'shimcha qo'llab-quvvatlamasdan, ushbu dalilni qabul qilmaydi. Bu ko'rib chiqilayotgan raqam aslida mantiqsiz (yoki vaziyatga ko'ra oqilona) ekanligini isbotlash shaklida bo'lishi mumkin; yoki raqamning oqilona yoki yo'qligini aniqlaydigan cheklangan algoritm.

Cheksiz ustida konstruktiv bo'lmagan dalillar

Yuqoridagi dalil a konstruktiv bo'lmagan intuitivistlar tomonidan tasdiqlanmagan dalil:

Isbot konstruktiv emas, chunki u aniq raqamlarni bermaydi ${displaystyle a}$ va ${displaystyle b}$ Teoremani qondiradigan, ammo ulardan faqat bittasi ishlashi kerak bo'lgan ikkita alohida imkoniyat. (Aslida ${displaystyle a = {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}$ mantiqsiz, ammo bu faktning ma'lum bir oson isboti mavjud emas.) (Devis 2000: 220)

(Yuqoridagi aniq misolning konstruktiv dalillarini yaratish qiyin emas; masalan ${displaystyle a = {sqrt {2}}}$ va ${displaystyle b = log _ {2} 9}$ ikkalasi ham osonlikcha mantiqsiz deb ko'rsatilgan va ${displaystyle a ^ {b} = 3}$; intuitivistlar tomonidan ruxsat berilgan dalil).

By konstruktiv bo'lmagan Devis shuni anglatadiki, "haqiqatan ham ma'lum shartlarni qondiradigan matematik shaxslar mavjudligiga dalil, ushbu ob'ektlarni aniq namoyish qilish uchun usul taqdim etishi shart emas". (85-bet). Bunday dalillar to'liqlikning mavjudligini taxmin qiladi, bu intuitivistlar tomonidan kengaytirilganda rad etilgan tushunchadir. cheksiz- ular uchun cheksiz hech qachon tugamaydi:

Klassik matematikada mavjud konstruktiv bo'lmagan yoki bilvosita intuitivistlar qabul qilmaydigan mavjudlik dalillari. Masalan, isbotlash uchun P mavjud bo'lgan n mavjud(n), klassik matematik hamma uchun taxmindan ziddiyat chiqarishi mumkin n, emas P(n). Klassik va intuitiv mantiq asosida, reduktio ad absurdum tomonidan bu narsa beradi hamma uchun emas, balki P(n). Klassik mantiq bu natijani o'zgartirishga imkon beradi P mavjud bo'lgan n mavjud(n), lekin umuman intuizistik emas ... klassik ma'no, bu tabiiy sonlarning tugallangan cheksiz to'liqligida n shu kabi P(n), u uchun mavjud emas, chunki u tabiiy sonlarni to'liq jami sifatida tasavvur qilmaydi.^[9] (Kleene 1952: 49-50)

Devid Xilbert va Luitzen E. J. Brouwer ikkalasi ham cheksizgacha kengaytirilgan chiqarib tashlangan o'rta qonunlarga misollar keltiradi. Xilbertning misoli: "yo sonli sonlar juda ko'p yoki cheksiz ko'p" degan fikr (Devis 2000: 97 da keltirilgan); va Brouverning: "Har qanday matematik tur cheklangan yoki cheksizdir". (Brouwer 1923 van Heijenoort 1967: 336).

Umuman olganda, intuitivistlar cheklangan to'plamlar (to'plamlar) haqida gaplashish bilan cheklangan bo'lsa, chiqarib tashlangan o'rta qonunidan foydalanishga ruxsat berishadi, lekin u cheksiz to'plamlar (masalan, tabiiy sonlar) haqida gaplashganda foydalanilmaydi. Shunday qilib, intuitivistlar adyolning fikrini mutlaqo rad etadilar: "Barcha takliflar uchun P cheksiz to'plamlar haqida D.: P yoki ~P"(Kleene 1952: 48).

Intuitivistlar (masalan, Brouver) va formalistlar (Hilbert) o'rtasidagi ziddiyat haqida ko'proq ma'lumot olish uchun qarang Matematikaning asoslari va Intuitivizm.

Chiqarilgan o'rta qonunga qarshi qarama-qarshi misollarga quyidagilar kiradi yolg'onchi paradoks yoki Kvinening paradoksi. Ushbu paradokslarning aniq qarorlari, xususan Grem ruhoniy "s dialektizm LP-da rasmiylashtirilganidek, teorema sifatida chiqarib tashlangan o'rtadagi qonunga ega, ammo Yolg'onchini ham haqiqat, ham yolg'on deb topadi. Shunday qilib, chiqarib tashlangan o'rtadagi qonun to'g'ri, ammo haqiqatning o'zi va shuning uchun disjunksiya eksklyuziv bo'lmaganligi sababli, agar disjunktlardan biri paradoksal bo'lsa yoki ikkalasi ham to'g'ri va yolg'on bo'lsa, u hech narsa demaydi.

Tanqidlar

Ko'pgina zamonaviy mantiqiy tizimlar chiqarib tashlangan o'rta qonunni o'rniga tushunchasi bilan almashtiriladi inkor etishmovchilik sifatida. Taklifning rost yoki yolg'on bo'lish o'rniga, taklif haqiqat yoki haqiqatni isbotlab bo'lmaydi.^[10] Ushbu ikkita dixotomiya faqat mantiqiy bo'lmagan tizimlarda farq qiladi to'liq. Muvaffaqiyatsizlik sifatida inkor etish printsipi asos sifatida ishlatiladi avtoepistemik mantiq, va keng ishlatiladi mantiqiy dasturlash. Ushbu tizimlarda dasturchi chiqarib tashlangan o'rtadagi qonunni haqiqiy haqiqat sifatida tasdiqlashi mumkin, ammo u o'rnatilgan emas apriori ushbu tizimlarga.

Kabi matematiklar L. E. J. Brouver va Arend Heyting chetlatilgan o'rta qonunning zamonaviy matematika kontekstida foydaliligini ham muhokama qildilar.^[11]

Matematik mantiqda

Zamonaviy matematik mantiq, chiqarib tashlangan o'rtada mumkin bo'lgan natijalar ko'rsatildi o'zaro qarama-qarshilik. Mantiqan to'g'ri yoki yolg'on bo'lmaydigan yaxshi qurilgan takliflar qilish mumkin; bunga umumiy misol "Yolg'onchining paradoksi ",^[12] "bu gap yolg'ondir" degan bayonot, o'zi ham to'g'ri, na yolg'on bo'lishi mumkin. O'chirilgan o'rta qonuni bu erda ham amal qiladi, chunki ushbu bayonotni rad etish "Bu bayonot yolg'on emas" degan ma'noni anglatadi. Yilda to'plam nazariyasi, bunday o'ziga xos paradoks "o'zlarini o'z ichiga olmaydigan barcha to'plamlar to'plami" to'plamini o'rganish orqali tuzilishi mumkin. Ushbu to'plam aniq aniqlangan, ammo a ga olib keladi Rassellning paradoksi^[13][14]: to'plam, uning elementlaridan biri sifatida o'zini o'z ichiga oladimi? Biroq, zamonaviy Zermelo-Fraenkel to'plamlari nazariyasi, ushbu qarama-qarshilik turiga endi yo'l qo'yilmaydi.

Shunga o'xshash qonunlar

Ba'zi mantiq tizimlari turli xil, ammo o'xshash qonunlarga ega. Ba'zi bir cheklanganlar uchun n- baholangan mantiq, deb nomlangan o'xshash qonun mavjud chiqarib tashlangan qonun n+ 1-chi. Agar inkor bo'lsa tsiklik va "∨" - bu "maksimal operator", keyin qonun ob'ekt tilida (P ∨ ~ P ∨ ~~ P ∨ ... ∨ ~ ... ~ P) bilan ifodalanishi mumkin, bu erda "~ ... ~ "ifodalaydi n−1 inkor belgilari va "∨ ... ∨" n−1 disjunktsiya belgilari. Hukmning kamida bittasini olish kerakligini tekshirish oson n haqiqat qadriyatlari (va qiymatlaridan biri bo'lmagan qiymat emas n).

Boshqa tizimlar qonunni butunlay rad etadi.^{[belgilang ]}

Shuningdek qarang

• Bruver va Xilbert qarama-qarshiliklari: formalist-intuitivistlar to'g'risidagi hisobot chiqarib tashlangan o'rtadagi Qonun atrofida
• Consequentia mirabilis - Propozitsion mantiqda fikr yuritish namunasi
• Diakonesku teoremasi
• To'rtinchi qonuni chiqarib tashlandi
• Chetlatilgan o'rtadagi qonun haqiqiy emas juda qadrli mantiq kabi uchlamchi mantiq va loyqa mantiq - noaniqlik haqida fikr yuritish tizimi
• Fikrlash qonunlari
• Hamma narsani bilishning cheklangan printsipi
• Mantiqiy grafikalar: propozitsion mantiq uchun grafik sintaksis
• Peirce qonuni: intuitivlikni klassikaga aylantirishning yana bir usuli
• Mantiqiy determinizm: ariza o'rtadan chiqarib tashlandi modali - Rasmiy mantiqiy takliflarning turi
• Tasdiqlamaydigan inkor Prasangika chetlashtirilgan o'rta qonuni haqiqatga mos kelmaydigan yana bir tizim - buddizm maktabi
• Matematik konstruktivizm
• Konstruktiv to'plam nazariyasi

Izohlar

Adabiyotlar

• Aquinas, Thomas, "Summa Theologica ", Ingliz Dominikan provinsiyasining otalari (trans.), Daniel J. Sallivan (tahr.), jildlar. 19-20 dyuym Robert Maynard Xattins (tahr.), G'arb dunyosining buyuk kitoblari, Britannica Encyclopanndia, Inc., Chikago, IL, 1952. GB 19-20 sifatida ko'rsatilgan.
• Aristotel, "Metafizika ", Ross D. (tarjima), jild 8 dyuym Robert Maynard Xattins (tahr.), G'arb dunyosining buyuk kitoblari, Britannica Encyclopædia, Inc., Chikago, IL, 1952. GB 8. sifatida nashr etilgan, 1-nashr, VD Ross (tarjima), Aristotelning asarlari, Oksford universiteti matbuoti, Oksford, Buyuk Britaniya.
• Martin Devis 2000, Mantiq motorlari: matematiklar va kompyuterning kelib chiqishi ", W. W. Norton & Company, NY, ISBN  0-393-32229-7 pk.
• Douson, J., Mantiqiy ikkilanishlar, Kurt Gödelning hayoti va faoliyati, A.K. Piters, Uelsli, MA, 1997 yil.
• van Heijenoort, J., Frejdan Gödelgacha, Matematik mantiq bo'yicha manbaviy kitob, 1879–1931, Garvard universiteti matbuoti, Kembrij, MA, 1967. Tuzatishlar bilan qayta nashr etilgan, 1977 yil.
• Litsen Egbertus Yan Brouwer, 1923, Matematikada, ayniqsa funktsiyalar nazariyasida chiqarib tashlangan o'rta printsipining ahamiyati to'g'risida [sharh bilan qayta nashr etilgan, p. 334, van Heijenoort]
• Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1925, Chetlatilgan o'rta printsipi bo'yicha, [sharh bilan qayta nashr etilgan, p. 414, van Heijenoort]
• Litsen Egbertus Yan Brouwer, 1927, Funktsiyalar ta'riflari sohalari to'g'risida, [sharh bilan qayta nashr etilgan, p. 446, van Heijenoort] Garchi to'g'ridan-to'g'ri germana bo'lmasa ham, (1923) Brouwer ushbu maqolada aniqlangan so'zlardan foydalanadi.
• Litsen Egbertus Yan Brouwer, 1927(2), Formalizmga intuitivistik mulohazalar, [sharh bilan qayta nashr etilgan, p. 490, van Heijenoort]
• Stiven S Klein 1952 yil asl nusxasi, 1971 yil tuzatishlar bilan 6-nashri, 1991 yil 10-nashri, Metamatematikaga kirish, North-Holland nashriyot kompaniyasi, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9.
• Kneal, V. va Kneal, M., Mantiqning rivojlanishi, Oksford universiteti matbuoti, Oksford, Buyuk Britaniya, 1962. Tuzatishlar bilan qayta nashr etilgan, 1975 yil.
• Alfred Nort Uaytxed va Bertran Rassel, Mathematica printsipi * 56 gacha, University Press-da 1962 yilda Kembrij (1927 yildagi ikkinchi nashr, qayta nashr etilgan). Yorqin ramziylik tufayli juda qiyin, ammo jiddiy mantiqchilar uchun zarur bo'lgan narsa.
• Bertran Rassel, Ma'nosi va haqiqati haqida so'rov. Garvard Universitetida Uilyam Jeymsning 1940 yilgi ma'ruzalari.
• Bertran Rassel, Jon Perrining yangi kirish so'zi bilan falsafa muammolari, Oksford universiteti matbuoti, Nyu-York, 1997 yildagi nashr (birinchi marta 1912 yilda nashr etilgan). O'qish juda oson: Rassel ajoyib yozuvchi edi.
• Bertran Rassel, Falsafiy san'at va boshqa insholar, Littlefield, Adams & Co., Totova, NJ, 1974 yil nashr (birinchi nashr 1968 yilda). "Chizmalar chizish san'ati" mavzusidagi ajoyib inshoni o'z ichiga oladi.
• Xans Reyxenbax, Ramziy mantiq elementlari, Dover, Nyu-York, 1947, 1975.
• Tom Mitchell, Mashinada o'rganish, WCB McGraw-Hill, 1997 yil.
• Konstans Reid, Xilbert, Kopernik: Springer-Verlag Nyu-York, Inc 1996 yil, birinchi bo'lib 1969 yilda nashr etilgan. Intervyulardan olingan juda ko'p biografik ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.
• Bart Kosko, Bulaniq fikrlash: loyqa mantiqning yangi ilmi, Hyperion, Nyu-York, 1993. Eng yaxshi darajada loyqa fikrlash. Ammo tushunchalar bilan yaxshi tanishish.
• Devid Xum, Inson tushunchasiga oid so'rov, G'arbiy Dunyo Entsiklopediyasi Britannica Buyuk Kitoblarida qayta nashr etilgan, 1952 yil 35-jild, p. 449 ff. Ushbu asar Xyum tomonidan 1758 yilda "voyaga etmagan" ning qayta yozilishi sifatida nashr etilgan. Inson tabiatining risolasi: "Axloqiy mavzular" da eksperimental fikrlash usulini joriy etishga urinish. Men, tushunish birinchi bo'lib 1739 yilda nashr etilgan, qayta nashr etilgan: Devid Xyum, Inson tabiatining risolasi, Penguen Classics, 1985. Shuningdek qarang: Devid Applebaum, Humning ko'rinishi, Vega, London, 2001 yil: qismining qayta nashr etilishi So'rov p dan boshlanadi. 94 ff

Tashqi havolalar

• "Qarama-qarshilik" yozuvi ichida Stenford falsafa entsiklopediyasi