Leray spektral ketma-ketligi - Leray spectral sequence

Yilda matematika, Leray spektral ketma-ketligi ning kashshof namunasi edi gomologik algebra, 1946 yilda kiritilgan^[1]^[2] tomonidan Jan Leray. Odatda, bugungi kunda bu alohida holat sifatida qaralmoqda Grotendik spektral ketma-ketligi.

Ta'rif

Ruxsat bering ${displaystyle f: X o Y}$ topologik bo'shliqlarning uzluksiz xaritasi bo'ling, bu ayniqsa a beradi funktsiya ${displaystyle f _ {*}}$ dan abeliya guruhlari kuni ${displaystyle X}$ abeliya guruhlari to'plamlariga ${displaystyle Y}$ . Buni funktsiya bilan tuzish ${displaystyle Gamma}$ bo'limlarni qabul qilish ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (Y)}$ bo'limlarni olish bilan bir xil ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (X)}$ , to'g'ridan-to'g'ri tasvir funktsiyasining ta'rifi bo'yicha ${displaystyle f _ {*}}$ :

{displaystyle {ce {Sh}} _ {ext {Ab}} (X) {ce {-> [f_ *] Sh}} _ {ext {Ab}} (Y) {ce {-> [Gamma] Ab} }}

.

Shunday qilib olingan funktsiyalar ning ${displaystyle Gamma circ f _ {*}}$ uchun sheaf kohomologiyasini hisoblash ${displaystyle X}$ :

{displaystyle R ^ {i} (Gamma cdot f _ {*}) ({mathcal {F}}) = H ^ {i} (X, {mathcal {F}})}

.

Lekin, chunki ${displaystyle f _ {*}}$ va ${displaystyle Gamma}$ yuborish in'ektsion narsalar yilda ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (X)}$ ga ${displaystyle Gamma}$ -akril buyumlar yilda ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (Y)}$ , spektral ketma-ketlik mavjud^[3]^{33,19 bet} kimning ikkinchi sahifasi

{displaystyle E_ {2} ^ {pq} = (R ^ {p} Gamma cdot R ^ {q} f _ {*}) ({mathcal {F}}) = H ^ {p} (Y, R ^ {q } f _ {*} ({mathcal {F}}))}

,

va qaysi biriga yaqinlashadi

{displaystyle E_ {infty} ^ {pq} = R ^ {p + q} (Gamma circ f _ {*}) ({mathcal {F}}) = H ^ {p + q} (X, {mathcal {F}) })}

.

Bunga Leray spektral ketma-ketligi.

Qatlamlarning boshqa qirralari va komplekslariga umumlashtirish

E'tibor bering, ushbu natijani halqalarni doimiy ravishda mahalliy uzuklar ustidagi modullarni ko'rib chiqish orqali umumlashtirish mumkin ${displaystyle {tagiga chizilgan {A}}}$ sobit komutativ halqa uchun ${displaystyle A}$ . So'ngra, o'roqlar o'ralgan bo'ladi ${displaystyle {tagiga chizilgan {A}}}$ -modullar, bu erda ochiq to'plam uchun ${displaystyle Usubset X}$ , bunday dastani ${displaystyle {mathcal {F}} {ext {Sh}} _ {ostida {A}} (X)} chizilgan$ bu ${displaystyle {tagiga chizilgan {A}} (U)}$ uchun modul ${displaystyle {mathcal {F}} (U)}$ . Bunga qo'shimcha ravishda, quyma o'rniga, biz quyida joylashgan chegaralar majmualarini ko'rib chiqishimiz mumkin ${displaystyle {mathcal {F}} ^ {ullet} in D_ {{A}} ^ {+} (X)} chizig'i$ uchun olingan kategoriya ning ${displaystyle {ext {Sh}} _ {{A}} (X)} ostiga chizish$ . Keyinchalik, sheaf kogomologiyasi bilan almashtiriladi shef giperkogomologiyasi.

Qurilish

Leray spektral ketma-ketligining mavjudligi to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishidir Grotendik spektral ketma-ketligi^[3]^19-bet. Bu qo'shimcha funktsiyalar berilganligini bildiradi

{displaystyle {mathcal {A}} xrightarrow {G} {mathcal {B}} xrightarrow {F} {mathcal {C}}}

o'rtasida Abeliya toifalari ega bo'lish etarli miqdorda ukol, ${displaystyle F}$ a chapga aniq funktsiya va ${displaystyle G}$ ukol predmetlarini yuborish ${displaystyle F}$ -siklik ob'ektlar, keyin izomorfizmi mavjud olingan funktsiyalar

{displaystyle R ^ {+} (Fcirc G) = R ^ {+} Fcirc F ^ {+} G}

olingan toifalar uchun ${displaystyle D ^ {+} ({mathcal {A}}), D ^ {+} ({mathcal {B}}), D ^ {+} ({mathcal {C}})}$ . Yuqoridagi misolda bizda hosil bo'lgan funktsiyalar tarkibi mavjud

{displaystyle D ^ {+} ({ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (X)) xrightarrow {Rf _ {*}} D ^ {+} ({ext {Sh}} _ {ext {Ab}) } (Y)) xrightarrow {Gamma} D ^ {+} ({ext {Ab}})}

.

Klassik ta'rif

Ruxsat bering ${displaystyle fcolon X o Y}$ ning doimiy xaritasi bo'lishi silliq manifoldlar. Agar ${displaystyle {mathcal {U}} = {U_ {i}} _ {iin I}}$ ning ochiq qopqog'i ${displaystyle Y}$ , shaklini Texnik kompleks bir dasta ${displaystyle {mathcal {F}} {ext {Sh}} (X)} da$ qoplash uchun ${displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ ning ${displaystyle X}$ :

{displaystyle {ext {C}} ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, {mathcal {F}})}

Chegaraviy xaritalar ${displaystyle d ^ {p} ikki nuqta C ^ {p} o C ^ {p + 1}}$ va xaritalar ${displaystyle delta ^ {q} ikki nuqta Omega _ {X} ^ {q} o Omega _ {X} ^ {q + 1}}$ bug'doylar ${displaystyle X}$ birgalikda juft kompleksda chegara xaritasini bering ${displaystyle {ext {C}} ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {q})}$

{displaystyle D = d + delta yo'g'on ichak C ^ {ullet} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet}) longrightarrow C ^ {ullet} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet})}

.

Ushbu juftlik kompleksi tomonidan baholangan bitta kompleks hamdir ${displaystyle n = p + q}$ , bunga nisbatan ${displaystyle D}$ chegara xaritasi. Agar ning har bir cheklangan kesishishi bo'lsa ${displaystyle U_ {i}}$ diffeomorfikdir ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , kohomologiya ekanligini ko'rsatish mumkin

{displaystyle H_ {D} ^ {n} (C ^ {ullet} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet})) = H_ {ext {dR}} ^ {n} (X, mathbb {R})}

Ushbu kompleksning de Rham kohomologiyasi ning ${displaystyle X}$ .^[4]^:96 Bundan tashqari,^[4]^:179^[5] har qanday juft kompleks spektral ketma-ketlikka ega E bilan

{displaystyle E_ {infty} ^ {np, p} = {ext {the}} p {ext {th gradated қисми}} H_ {dR} ^ {n} (C ^ {ullet} (f ^ {- 1}) {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet}))}

(shunda ularning yig'indisi shunday bo'ladi ${displaystyle H_ {dR} ^ {n}}$ ) va

{displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, {mathcal {H}} ^ {q}),}

qayerda ${displaystyle {mathcal {H}} ^ {q}}$ oldindan eshitish vositasi X yuborish ${displaystyle Umapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F)}$ . Shu nuqtai nazardan, bu Leray spektral ketma-ketligi deb nomlanadi.

Zamonaviy ta'rif buni o'z ichiga oladi, chunki to'g'ridan-to'g'ri tasvir funktsiyasi qanchalik baland bo'lsa ${displaystyle R ^ {p} f _ {*} (F)}$ bu old sochning sochlari ${displaystyle Umapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F)}$ .

Misollar

Ruxsat bering ${displaystyle X, F}$ bo'lishi silliq manifoldlar va ${displaystyle X}$ bo'lishi oddiygina ulangan, shuning uchun ${displaystyle pi _ {1} (X) = 0}$ . Proyeksiyaning Leray spektral ketma-ketligini hisoblaymiz ${displaystyle fcolon X imes F o X}$ . Agar qopqoq bo'lsa ${displaystyle {mathcal {U}} = {U_ {i}} _ {iin I}}$ yaxshi (cheklangan chorrahalar ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ) keyin

{displaystyle {mathcal {H}} ^ {p} (f ^ {- 1} U_ {i}) simeq H ^ {q} (F)}

Beri

{displaystyle X}

oddiygina bog'langan, har qanday mahalliy doimiy old oshxona doimiydir, shuning uchun bu doimiy oldingi eshitish vositasi

{displaystyle H ^ {q} (F) = {tagiga chizilgan {mathbb {R}}} ^ {n_ {q}}}

. Shunday qilib, Leray spektral ketma-ketligining ikkinchi sahifasi

{displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, H ^ {q} (F)) = H ^ {p} (f ^) {-1} {mathcal {U}}, mathbb {R}) otimes H ^ {q} (F)}

Muqova sifatida

{displaystyle {f ^ {- 1} (U_ {i})} _ {iin I}}

ning

{displaystyle X imes F}

ham yaxshi,

{displaystyle H ^ {p} (f ^ {- 1} (U_ {i}); mathbb {R}) cong H ^ {p} (f; mathbb {R})}

. Shunday qilib

{displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (X) otimes H ^ {q} (F) Longrightarrow H ^ {p + q} (X imes F, mathbb {R})}

Mana biz birinchi foydalanadigan joy

{displaystyle f}

proektsiyadir va shunchaki tola to'plami emas: ning har bir elementi

{displaystyle E_ {2}}

barchasi uchun yopiq differentsial shakl

{displaystyle X imes F}

, shuning uchun ikkalasini ham qo'llash d va

{displaystyle delta}

ularga nol beradi. Shunday qilib

{displaystyle E_ {infty} = E_ {2}}

. Bu isbotlaydi Künnet teoremasi uchun

{displaystyle X}

oddiy bog'langan:

{displaystyle H ^ {ullet} (X imes Y, mathbb {R}) simeq H ^ {ullet} (X) otimes H ^ {ullet} (Y)}

Agar ${displaystyle fcolon X o Y}$ general tola to'plami tola bilan ${displaystyle F}$ , yuqoridagilar bundan mustasno ${displaystyle V ^ {p} o H ^ {p} (f ^ {- 1} V, H ^ {q})}$ doimiy emas, faqat mahalliy doimiy preheafdir.

Bilan barcha misollarni hisoblash Serr spektral ketma-ketligi doimiy shef uchun Leray ketma-ketligi.

Degeneratsiya teoremasi

Kvaziy proektsion navlar toifasida ${displaystyle mathbb {C}}$ , isbotlangan degeneratsiya teoremasi mavjud Per Deligne va Blanchard Leray spektral ketma-ketligi uchun, navlarning silliq proektsion morfizmi deyiladi ${displaystyle fcolon X o Y}$ bizga buni beradi ${displaystyle E_ {2}}$ - uchun spektral ketma-ketlik sahifasi ${displaystyle {underline {mathbb {Q}}} _ {X}}$ degeneratsiya qiladi, demak

{displaystyle H ^ {k} (X; mathbb {Q}) cong igoplus _ {p + q = k} H ^ {p} (Y; mathbf {R} ^ {q} f _ {*} ({underline {mathbb) {Q}}} _ {X})).}

Agar oson misollarni hisoblash mumkin $Y$ oddiygina bog'langan; masalan, o'lchovning to'liq kesishishi ${displaystyle geq 2}$ (buning sababi Xurevich gomomorfizmi va Lefschetz giperplan teoremasi ). Bu holda mahalliy tizimlar ${displaystyle mathbf {R} ^ {q} f _ {*} ({pastki chiziq {mathbb {Q}}} _ {X})}$ ahamiyatsiz monodromiyaga ega bo'ladi, demak ${displaystyle mathbf {R} ^ {q} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {X}) cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus l_ {q} }}$ . Masalan, silliq oilani ko'rib chiqing ${displaystyle fcolon X o Y}$ tekislikning 3 egri chizig'i K3 yuzasi. Keyin bizda shunday narsa bor

{displaystyle {egin {aligned} mathbf {R} ^ {0} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} mathbf {R} ^ {1} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) va cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus 6} mathbf {R} ^ {2} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) va cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} end {hizalangan}}}

bizga berish ${displaystyle E_ {2}}$ -sahifa

{displaystyle E_ {2} = E_ {infty} = {egin {bmatrix} H ^ {0} (Y; {underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {2} (Y; {underline { mathbb {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {4} (Y; {pastki chiziq {mathbb {Q}}} _ {Y}) H ^ {0} (Y; {pastki chiziq {mathbb {Q}} } _ {Y} ^ {oplus 6}) & 0 & H ^ {2} (Y; {pastki chiziq {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus 6}) & 0 & H ^ {4} (Y; {chiziqcha {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus 6}) H ^ {0} (Y; {underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {2} (Y; {underline {mathbb) {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {4} (Y; {underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) end {bmatrix}}}

Monodromiya bilan misol

Silliq proektsion oilaning yana bir muhim namunasi - bu elliptik egri chiziqlar bilan bog'langan oila

{displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x-t)}

ustida ${displaystyle mathbb {P} ^ {1} setminus {0,1, infty}}$ . Bu erda atrofdagi monodromiya 0 va 1 yordamida hisoblash mumkin Pikard-Lefshetz nazariyasi, atrofida monodromiya berish ${displaystyle infty}$ mahalliy monodromiyalar tuzish orqali.

Tarix va boshqa spektral ketma-ketliklar bilan bog'lanish

Leray ishlagan davrda ikkala tushuncha ham (spektral ketma-ketlik, sheaf kohomologiyasi) aniq holatga o'xshash narsaga erishmagan. Shuning uchun Lerayning natijasi asl shaklida keltirilganligi kamdan-kam hollarda bo'ladi. Ko'p ishlardan so'ng, seminarda Anri Kardan xususan, zamonaviy bayonot, garchi umumiy Grothendieck spektral ketma-ketligi bo'lmasa ham olingan.

Oldinroq (1948/9) natijalar tolalar to'plamlari bilan rasmiy ravishda bir xil shaklda chiqarilgan Serr spektral ketma-ketligi, bu shamlardan foydalanmaydi. Biroq, ushbu davolash usuli qo'llanildi Aleksandr-Ispaniya kohomologiyasi bilan ixcham tayanchlar, tegishli ravishda to'g'ri xaritalar spektral ketma-ketlikni keltirib chiqarishni talab qilganligi sababli mahalliy ixcham Hausdorff maydonlarining ingichka po'stlog'i haqiqiy differentsial darajali algebralar orqaga tortish natijasida olingan umumiy bo'shliqda de Rham majmuasi sharga singdirish bo'ylab. Jan-Per Ser, kimga spektral ketma-ketlik kerak edi homologiya murojaat qilgan yo'l kosmik tolalari, ularning umumiy bo'shliqlari deyarli hech qachon mahalliy darajada ixcham emas, shuning uchun Lerayning asl spektral ketma-ketligidan foydalana olmadi va shuning uchun kohomologik variantga mos keladigan spektrli ketma-ketlikni keltirib chiqardi, chunki yuqoridagi ketma-ketlik bilan yaxshi xulqli maydonda ixcham tola to'plami uchun.

Tomonidan erishilgan formulada Aleksandr Grothendieck taxminan 1957 yilga kelib, Leray spektral ketma-ketligi Grotendik spektral ketma-ketligi ikkitasining tarkibi uchun olingan funktsiyalar.

Shuningdek qarang

Serr spektral ketma-ketligi - ko'proq misollar uchun
Grotendik spektral ketma-ketligi - Leray spektral ketma-ketligi uchun konstruktsiyani yig'uvchi mavhum nazariya uchun
Aralash Hodge moduli

Adabiyotlar

^ Leray, Jan (1946). "L'anneau d'homologie d'une représentation". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 222: 1366–1368.
^ Miller, Xeyns (2000). "Leray Oflagdagi XVIIA: sheaf nazariyasi, sheho kohomologiyasi va spektral sekanslarning kelib chiqishi, Jan Leray (1906-1998)" (PDF). Gaz. Matematika. 84: 17–34.
^ ^a ^b Dimka, Aleksandru (2004). Topologiyadagi pog'onalar. Berlin, Geydelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-18868-8. ISBN 978-3-642-18868-8. OCLC 851731478.
^ ^a ^b Bott, Raul; Tu, Loring V. Algebraik topologiyadagi differentsial shakllar. Matematikadan aspirantura matnlari. 82. Nyu-York-Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC 7597142.
^ Griffits, Fillip; Xarris, Jou (1978). Algebraik geometriya asoslari. Nyu York: Vili. p. 443. ISBN 0-471-32792-1. OCLC 3843444.

Tashqi havolalar

[LerHomRep-1] Leray, Jan (1946). "L'anneau d'homologie d'une représentation". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 222: 1366–1368.

[LerOflag-2] Miller, Xeyns (2000). "Leray Oflagdagi XVIIA: sheaf nazariyasi, sheho kohomologiyasi va spektral sekanslarning kelib chiqishi, Jan Leray (1906-1998)" (PDF). Gaz. Matematika. 84: 17–34.

[:0-3] Dimka, Aleksandru (2004). Topologiyadagi pog'onalar. Berlin, Geydelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-18868-8. ISBN 978-3-642-18868-8. OCLC 851731478.

[Bott-Tu-4] Bott, Raul; Tu, Loring V. Algebraik topologiyadagi differentsial shakllar. Matematikadan aspirantura matnlari. 82. Nyu-York-Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC 7597142.

[5] Griffits, Fillip; Xarris, Jou (1978). Algebraik geometriya asoslari. Nyu York: Vili. p. 443. ISBN 0-471-32792-1. OCLC 3843444.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]