McKay grafigi - McKay graph

Affin (kengaytirilgan) Dynkin diagrammasi

Yilda matematika, McKay grafigi cheklangan o'lchovli vakillik V cheklangan guruh G vaznli hisoblanadi titroq tuzilishini kodlash vakillik nazariyasi ning G. Har bir tugun ning kamaytirilmagan ko'rinishini anglatadi G. Agar ${ displaystyle chi _ {i}, chi _ {j}}$ ning qisqartirilmaydigan tasavvurlari G, keyin o'q bor ${ displaystyle chi _ {i}}$ ga ${ displaystyle chi _ {j}}$ agar va faqat agar ${ displaystyle chi _ {j}}$ ning tarkibiy qismidir tensor mahsuloti ${ displaystyle V otimes chi _ {i}}$ . Keyin og'irlik n_ij o'q - bu tarkibiy qismning paydo bo'lish soni ${ displaystyle V otimes chi _ {i}}$ . Cheklangan kichik guruhlar uchun H GL (2, C), McKay grafigi H ning kanonik tasvirining MakKay grafigi H.

Agar G bor n kamaytirilmaydigan belgilar, keyin Kartan matritsasi v_V vakillik V o'lchov d bilan belgilanadi ${ displaystyle c_ {V} = (d delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij}}$ , bu erda δ Kronekker deltasi. Shtaynbergning natijasi shuni ko'rsatadiki, agar g a vakili konjuge sinf ning G, keyin vektorlar ${ displaystyle (( chi _ {i} (g)) _ {i}}$ ning xususiy vektorlari v_V o'zgacha qiymatlarga ${ displaystyle d- chi _ {V} (g)}$ , qayerda ${ displaystyle chi _ {V}}$ - bu vakillikning xarakteridir V.

Nomidagi Makkay yozishmalari Jon MakKey, SL ning cheklangan kichik guruhlarining McKay grafikalari o'rtasida birma-bir yozishmalar mavjudligini ta'kidlaydi (2, C) va kengaytirilgan Dynkin diagrammalari ichida paydo bo'lgan ADE tasnifi oddiy Yolg'on algebralar.

Ta'rif

Ruxsat bering G cheklangan guruh bo'ling, V bo'lishi a vakillik ning G va ${ displaystyle chi}$ uning xarakteri bo'lishi. Ruxsat bering ${ displaystyle { chi _ {1}, ldots, chi _ {d} }}$ ning qisqartirilmaydigan vakili bo'lishi G. Agar

{ displaystyle V otimes chi _ {i} = sum _ {j} n_ {ij} chi _ {j},}

keyin McKay grafigini aniqlang ${ displaystyle Gamma _ {G}}$ ning G, ga bog'liq V, quyidagicha:

Ning har bir qisqartirilmaydigan vakili G tugunga to'g'ri keladi ${ displaystyle Gamma _ {G}}$ .
Agar n_ij > 0, dan o'q bor ${ displaystyle chi _ {i}}$ ga ${ displaystyle chi _ {j}}$ vazn n_ij, sifatida yozilgan ${ displaystyle chi _ {i} { xrightarrow {n_ {ij}}} chi _ {j}}$ , yoki ba'zan shunday n_ij yorliqsiz o'qlar.
Agar n_ij = n_ji, orasidagi ikkita qarama-qarshi o'qni belgilaymiz ${ displaystyle chi _ {i}}$ va ${ displaystyle chi _ {j}}$ vaznning yo'naltirilmagan qirrasi sifatida n_ij. Bundan tashqari, agar n_ij = 1, biz vazn yorlig'ini tashlaymiz.

Ning qiymatini hisoblashimiz mumkin n_ij foydalanish ichki mahsulot ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ kuni belgilar:

{ displaystyle n_ {ij} = langle V otimes chi _ {i}, chi _ {j} rangle = { frac {1} {| G |}} sum _ {g in G} V (g) chi _ {i} (g) { overline { chi _ {j} (g)}}.}

GL ning cheklangan kichik guruhining McKay grafigi (2, C) uning kanonik tasvirining McKay grafigi sifatida belgilangan.

SL ning cheklangan kichik guruhlari uchun (2, C), kanonik vakillik C² o'z-o'zini dual, shuning uchun n_ij = n_ji Barcha uchun men, j. Shunday qilib, SL ning cheklangan kichik guruhlarining McKay grafigi (2, C) yo'naltirilmagan.

Aslida, McKay yozishmalariga ko'ra, SL ning cheklangan kichik guruhlari o'rtasida birma-bir yozishmalar mavjud (2, C) va A-D-E tipidagi kengaytirilgan Kokseter-Dinkin diagrammalari.

Biz Cartan matritsasini aniqlaymiz v_V ning V quyidagicha:

{ displaystyle c_ {V} = (d delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij},}

qayerda ${ displaystyle delta _ {ij}}$ bo'ladi Kronekker deltasi.

Ba'zi natijalar

Agar vakillik bo'lsa V sodiq bo'lsa, unda har qanday kamaytirilmaydigan vakolat ba'zi bir tensor kuchida bo'ladi ${ displaystyle V ^ { otimes k}}$ va McKay grafigi V ulangan.
SL ning cheklangan kichik guruhining McKay grafigi (2, C) o'z-o'zidan halqalari yo'q, ya'ni n_II = 0 hamma uchun men.
SL ning cheklangan kichik guruhining McKay grafigi o'qlari (2, C) barchasi bir vaznda.

Misollar

Aytaylik G = A × B, va kanonik qisqartirilmaydigan namoyishlar mavjud v_A va v_B ning A va B navbati bilan. Agar ${ displaystyle chi _ {i}}$ , men = 1, ..., k, ning qisqartirilmaydigan tasvirlari A va ${ displaystyle psi _ {j}}$ , j = 1, ..., ℓ, ning qisqartirilmaydigan tasvirlari B, keyin

{ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j} quad 1 leq i leq k, , , 1 leq j leq ell}

ning qisqartirilmaydigan tasavvurlari

{ displaystyle A times B}

, qayerda

{ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j} (a, b) = chi _ {i} (a) psi _ {j} (b), (a, b) in A marta B}

. Bunday holda, bizda bor

{ displaystyle langle (c_ {A} times c_ {B}) otimes ( chi _ {i} times psi _ { ell}), chi _ {n} times psi _ {p } rangle = langle c_ {A} otimes chi _ {k}, chi _ {n} rangle cdot langle c_ {B} otimes psi _ { ell}, psi _ {p } rangle.}

Shuning uchun, ning McKay grafasida o'q mavjud G o'rtasida

{ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j}}

va

{ displaystyle chi _ {k} times psi _ { ell}}

agar va faqat McKay grafasida o'q bo'lsa A o'rtasida

{ displaystyle chi _ {i}}

va

{ displaystyle chi _ {k}}

va MakKay grafasida o'q bor B o'rtasida

{ displaystyle psi _ {j}}

va

{ displaystyle psi _ { ell}}

. Bunday holda, ning McKay grafasidagi o'q ustidagi vazn G ning McKay grafikalaridagi mos keladigan ikkita o'qning og'irliklari ko'paytmasi A va B.

Feliks Klayn SL ning cheklangan kichik guruhlari (2, C) ikkilik ko'p qirrali guruhlar; barchasi SU ning kichik guruhlariga konjuge (2, C). McKay yozishmalarida aytilishicha, ushbu ikkilik ko'p qirrali guruhlarning McKay grafikalari va kengaytirilgan Dynkin diagrammalari o'rtasida birma-bir yozishmalar mavjud. Masalan, ikkilik tetraedral guruh ${ displaystyle { overline {T}}}$ SU tomonidan ishlab chiqarilgan (2, Cmatritsalar:

{ displaystyle S = chap ({ begin {array} {cc} i & 0 0 & -i end {array}} right), V = left ({ begin {array} {cc} 0 & i i & 0 end {array}} right), U = { frac {1} { sqrt {2}}} chap ({ begin {array} {cc} varepsilon & varepsilon ^ { 3} varepsilon & varepsilon ^ {7} end {array}} right),}

qayerda ε birlikning ibtidoiy sakkizinchi ildizi. Aslida, bizda bor

{ displaystyle { overline {T}} = {U ^ {k}, SU ^ {k}, VU ^ {k}, SVU ^ {k} mid k = 0, ldots, 5 }.}

Ning konjuge sinflari

{ displaystyle { overline {T}}}

ular:

{ displaystyle C_ {1} = {U ^ {0} = I },}

{ displaystyle C_ {2} = {U ^ {3} = - I },}

{ displaystyle C_ {3} = { pm S, pm V, pm SV },}

{ displaystyle C_ {4} = {U ^ {2}, SU ^ {2}, VU ^ {2}, SVU ^ {2} },}

{ displaystyle C_ {5} = {- U, SU, VU, SVU },}

{ displaystyle C_ {6} = {- U ^ {2}, - SU ^ {2}, - VU ^ {2}, - SVU ^ {2} },}

{ displaystyle C_ {7} = {U, -SU, -VU, -SVU }.}

Belgilar jadvali

{ displaystyle { overline {T}}}

bu

Konjugatsiya darslari	${ displaystyle C_ {1}}$	${ displaystyle C_ {2}}$	${ displaystyle C_ {3}}$	${ displaystyle C_ {4}}$	${ displaystyle C_ {5}}$	${ displaystyle C_ {6}}$	${ displaystyle C_ {7}}$
${ displaystyle chi _ {1}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle chi _ {2}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$
${ displaystyle chi _ {3}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$
${ displaystyle chi _ {4}}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
${ displaystyle c}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle chi _ {5}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle - omega}$	${ displaystyle - omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$
${ displaystyle chi _ {6}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle - omega ^ {2}}$	${ displaystyle - omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$

Bu yerda

{ displaystyle omega = e ^ {2 pi i / 3}}

. Kanonik vakillik V bu erda ko'rsatilganv. Ichki mahsulotdan foydalanib, ning McKay grafigi

{ displaystyle { overline {T}}}

kengaytirilgan Kokseter-Dinkin diagrammasi

{ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}

.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Hamfreyz, Jeyms E. (1972), Yolg'on algebralari va vakillik nazariyasiga kirish, Birxauzer, ISBN 978-0-387-90053-7
Jeyms, Gordon; Libek, Martin (2001). Guruhlarning namoyishlari va belgilar (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-00392-X.
Klayn, Feliks (1884), "Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade", Teubner, Leybnits
MakKey, Jon (1980), "Grafikalar, birliklar va cheklangan guruhlar", Proc. Simp. Sof matematik., Amer. Matematika. Soc., 37: 183–186, doi:10.1090 / pspum / 037/604577
MakKey, Jon (1982), "Vakilliklar va Kokseter grafikalari", "Geometrik tomir", Kokseter Festschrift, Berlin: Springer-Verlag
Riemenschneider, Osvald (2005), Miqdor sirtining o'ziga xosligi uchun McKay yozishmalari, Geometriya va topologiyadagi o'ziga xosliklar, Trieste singularity yozgi maktabi va seminari materiallari, 483-519 betlar.
Steinberg, Robert (1985), "ning kichik guruhlari ${ displaystyle SU_ {2}}$ , Dynkin diagrammasi va afin Kokseter elementlari ", Tinch okeanining matematika jurnali, 18: 587–598