Ko'paytirish teoremasi - Multiplication theorem

Yilda matematika, ko'paytirish teoremasi ko'pchilik itoat etgan o'ziga xos o'ziga xos turidir maxsus funktsiyalar bilan bog'liq gamma funktsiyasi. Gamma funktsiyasining aniq holati uchun identifikatsiya qiymatlar mahsulotidir; shunday qilib ism. Turli xil munosabatlar bir xil asosda kelib chiqadi; ya'ni bitta maxsus funktsiya uchun munosabat boshqalarnikidan kelib chiqishi mumkin va shunchaki bir xil o'ziga xoslikning turli qiyofadagi namoyonidir.

Cheklangan xarakteristikasi

Ko'paytirish teoremasi ikkita umumiy shaklni oladi. Birinchi holda, munosabatlarni berish uchun cheklangan sonli atamalar qo'shiladi yoki ko'paytiriladi. Ikkinchi holda, cheksiz ko'p atamalar qo'shiladi yoki ko'paytiriladi. Sonli shakl odatda faqat gamma va tegishli funktsiyalar uchun uchraydi, ular uchun identifikatsiya a dan kelib chiqadi p-adic munosabatlar a cheklangan maydon. Masalan, gamma funktsiyasi uchun ko'paytirish teoremasi quyidagidan kelib chiqadi Chowla - Selberg formulasi nazariyasidan kelib chiqadi murakkab ko'paytirish. Cheksiz yig'indilar ancha keng tarqalgan va ulardan kelib chiqadi xarakterli nol gipergeometrik qatordagi munosabatlar.

Quyidagilar sonli xarakteristikalar uchun ko'paytirish teoremasining har xil ko'rinishini jadvalga kiritadi; xarakterli nol munosabatlar yanada pastga berilgan. Barcha holatlarda, n va k manfiy bo'lmagan tamsayılardir. Maxsus ish uchun n = 2, teorema odatda takrorlash formulasi.

Gamma funktsiyasi - Legendre formulasi

Uchun ko'paytma formulasi va ko'paytirish teoremasi gamma funktsiyasi prototipik misollar. Gamma funktsiyasining takrorlanish formulasi quyidagicha

${ displaystyle Gamma (z) ; Gamma chap (z + { frac {1} {2}} o'ng) = 2 ^ {1-2z} ; { sqrt { pi}} ; Gamma (2z).}$

U shuningdek Legendre takrorlash formulasi^[1] yoki Legendre munosabati, sharafiga Adrien-Mari Legendre. Ko'paytirish teoremasi

${ displaystyle Gamma (z) ; Gamma chap (z + { frac {1} {k}} o'ng) ; Gamma chap (z + { frac {2} {k}} o'ng) cdots Gamma chap (z + { frac {k-1} {k}} o'ng) = (2 pi) ^ { frac {k-1} {2}} ; k ^ { frac { 1-2kz} {2}} ; Gamma (kz)}$

butun son uchun k ≥ 1, va ba'zida deyiladi Gaussni ko'paytirish formulasi, sharafiga Karl Fridrix Gauss. Gamma funktsiyalari uchun ko'paytirish teoremasini ahamiyatsiz bo'lgan holat deb tushunish mumkin Dirichlet belgisi, ning Chowla - Selberg formulasi.

Poligamma funktsiyasi, harmonik sonlar

The poligamma funktsiyasi bo'ladi logaritmik lotin gamma funktsiyasi va shuning uchun ko'paytirish teoremasi ko'paytma o'rniga qo'shimchaga aylanadi:

${ displaystyle k ^ {m} psi ^ {(m-1)} (kz) = sum _ {n = 0} ^ {k-1} psi ^ {(m-1)} chap (z +) { frac {n} {k}} o'ng)}$

uchun ${ displaystyle m> 1}$, va uchun ${ displaystyle m = 1}$, bitta digamma funktsiyasi:

${ displaystyle k left [ psi (kz) - log (k) right] = sum _ {n = 0} ^ {k-1} psi left (z + { frac {n} {k) }} o'ng).}$

Ko'paytma identifikatorlari uchun ko'paytirish teoremasini olish uchun ishlatilishi mumkin harmonik raqamlar.

Hurwitz zeta funktsiyasi

Uchun Hurwitz zeta funktsiyasi ko'pburchak funktsiyasini butun bo'lmagan tartiblarga umumlashtiradi va shu tariqa juda o'xshash ko'paytirish teoremasiga bo'ysunadi:

${ displaystyle k ^ {s} zeta (s) = sum _ {n = 1} ^ {k} zeta left (s, { frac {n} {k}} right),}$

qayerda ${ displaystyle zeta (s)}$ bo'ladi Riemann zeta funktsiyasi. Bu alohida holat

${ displaystyle k ^ {s} , zeta (s, kz) = sum _ {n = 0} ^ {k-1} zeta left (s, z + { frac {n} {k}} o'ng)}$

va

${ displaystyle zeta (s, kz) = sum _ {n = 0} ^ { infty} {s + n-1 ni tanlang n} (1-k) ^ {n} z ^ {n} zeta (s + n, z).}$

Asosiy bo'lmagan belgilar uchun ko'paytirish formulalari quyidagi shaklda berilishi mumkin Dirichlet L-funktsiyalari.

Davriy zeta funktsiyasi

The davriy zeta funktsiyasi^[2] ba'zan sifatida belgilanadi

${ displaystyle F (s; q) = sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {2 pi imq}} {m ^ {s}}} = operator nomi {Li} _ {s} chap (e ^ {2 pi iq} o'ng)}$

qayerda Li_s(z) bo'ladi polilogarifma. U takrorlash formulasiga bo'ysunadi

${ displaystyle 2 ^ {- s} F (s; q) = F chap (s, { frac {q} {2}} o'ng) + F chap (s, { frac {q + 1} {2}} o'ng).}$

Shunday qilib, bu o'z vektoridir Bernulli operatori o'ziga xos qiymat bilan 2^−s. Ko'paytirish teoremasi

${ displaystyle k ^ {- s} F (s; kq) = sum _ {n = 0} ^ {k-1} F chap (s, q + { frac {n} {k}} o'ng) .}$

Davriy zeta funktsiyasi Xurvits zeta funktsiyasining aks ettirish formulasida uchraydi, shuning uchun unga bo'ysunadigan munosabat va Xurvits zeta aloqasi o'zaro almashinishi bilan farq qiladis → −s.

The Bernulli polinomlari qabul qilish davriy zeta funktsiyasining cheklovchi holati sifatida olinishi mumkin s butun son bo'lib, u erda ko'paytirish teoremasi yuqoridagilardan kelib chiqishi mumkin. Xuddi shunday, almashtirishq = logz polilarifma uchun ko'paytirish teoremasiga olib keladi.

Polilogarifma

Ko'paytirish formulasi shaklni oladi

${ displaystyle 2 ^ {1-s} operator nomi {Li} _ {s} (z ^ {2}) = operator nomi {Li} _ {s} (z) + operator nomi {Li} _ {s} ( -z).}$

Ko'paytirishning umumiy formulasi a shaklida bo'ladi Gauss summasi yoki diskret Furye konvertatsiyasi:

${ displaystyle k ^ {1-s} operator nomi {Li} _ {s} (z ^ {k}) = sum _ {n = 0} ^ {k-1} operator nomi {Li} _ {s} chap (ze ^ {i2 pi n / k} o'ng).}$

Ushbu identifikatorlar davriy zeta funktsiyasidan kelib chiqadiz = logq.

Kummerning vazifasi

Uchun takrorlash formulasi Kummerning vazifasi bu

${ displaystyle 2 ^ {1-n} Lambda _ {n} (- z ^ {2}) = Lambda _ {n} (z) + Lambda _ {n} (- z)}$

va shu tariqa pollogaritma uchun shunga o'xshash, ammo o'ralganmen.

Bernulli polinomlari

Uchun Bernulli polinomlari, ko'paytirish teoremalari tomonidan berilgan Jozef Lyudvig Raabe 1851 yilda:

${ displaystyle k ^ {1-m} B_ {m} (kx) = sum _ {n = 0} ^ {k-1} B_ {m} chap (x + { frac {n} {k}} o'ng)}$

va uchun Eyler polinomlari,

${ displaystyle k ^ {- m} E_ {m} (kx) = sum _ {n = 0} ^ {k-1} (- 1) ^ {n} E_ {m} chap (x + { frac {n} {k}} o'ng) quad { mbox {for}} k = 1,3, nuqta}$

va

${ displaystyle k ^ {- m} E_ {m} (kx) = { frac {-2} {m + 1}} sum _ {n = 0} ^ {k-1} (- 1) ^ { n} B_ {m + 1} chap (x + { frac {n} {k}} o'ng) quad { mbox {for}} k = 2,4, nuqta.}$

Bernulli polinomlari Xurvits zeta funktsiyasining alohida holati sifatida olinishi mumkin va shuning uchun identifikatorlar shu erdan kelib chiqadi.

Bernulli xaritasi

The Bernulli xaritasi a-ning ma'lum bir oddiy modeli dissipativ dinamik tizim, a ta'sirini tavsiflovchi smena operatori cheksiz tangalar qatorida (the Kantor o'rnatilgan ). Bernulli xaritasi bir-biriga chambarchas bog'liq bo'lgan bir tomonlama versiyadir Beyker xaritasi. Bernulli xaritasi a ga umumlashtiriladi k-adic ning cheksiz qatorlarida ishlaydigan versiya k belgilar: bu Bernulli sxemasi. The uzatish operatori ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {k}}$ Bernulli sxemasi bo'yicha smena operatoriga mos keladigan tomonidan berilgan

${ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {k} f] (x) = { frac {1} {k}} sum _ {n = 0} ^ {k-1} f left ({ frac {x + n} {k}} o'ng)}$

Ehtimol ajablanarli emas xususiy vektorlar ushbu operatorning Bernulli polinomlari tomonidan berilgan. Ya'ni, birida shunday narsa bor

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {k} B_ {m} = { frac {1} {k ^ {m}}} B_ {m}}$

O'ziga xos qiymatlar haqiqatdir ${ displaystyle k ^ {- m} <1}$ buni dissipativ tizim sifatida belgilaydigan: dissipativ bo'lmagan uchun o'lchovlarni saqlovchi dinamik tizim, uzatish operatorining o'ziga xos qiymatlari birlik doirasida yotadi.

Kimdir ko'paytirish teoremasiga bo'ysunadigan funktsiyani tuzishi mumkin to'liq multiplikativ funktsiya. Ruxsat bering ${ displaystyle f (n)}$ butunlay ko'paytiriladigan; anavi, ${ displaystyle f (mn) = f (m) f (n)}$ har qanday butun sonlar uchun m, n. Uning Fourier seriyasini quyidagicha aniqlang

${ displaystyle g (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} f (n) exp (2 pi inx)}$

Yigindisi yaqinlashadi deb faraz qilsak, shunday bo'ladi g(x) mavjud, keyin u ko'paytirish teoremasiga bo'ysunadi; bu degani

${ displaystyle { frac {1} {k}} sum _ {n = 0} ^ {k-1} g chap ({ frac {x + n} {k}} o'ng) = f (k ) g (x)}$

Anavi, g(x) - bu Bernulli transfer operatorining o'ziga xos funktsiyasi, o'ziga xos qiymati f(k). Keyinchalik Bernulli polinomlari uchun ko'paytirish teoremasi ko'paytma funktsiyasining maxsus holati sifatida keladi ${ displaystyle f (n) = n ^ {- s}}$. The Dirichlet belgilar to'liq multiplikativdir va shuning uchun ushbu shaklning qo'shimcha identifikatorlarini olish uchun osonlikcha foydalanish mumkin.

Xarakterli nol

Maydon bo'yicha ko'paytirish teoremasi xarakterli nol cheklangan sonli atamalardan keyin yopilmaydi, lekin cheksiz qator ifoda etilishi kerak. Bunga misollar kiradi Bessel funktsiyasi ${ displaystyle J _ { nu} (z)}$:

${ displaystyle lambda ^ {- nu} J _ { nu} ( lambda z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} left ({ frac {(1- lambda ^ {2}) z} {2}} o'ng) ^ {n} J _ { nu + n} (z),}$

qayerda ${ displaystyle lambda}$ va ${ displaystyle nu}$ o'zboshimchalik bilan murakkab sonlar sifatida qabul qilinishi mumkin. Bunday xarakterli-nollik identifikatsiyalari odatda gipergeometrik qatordagi mumkin bo'lgan identifikatorlardan biriga to'g'ri keladi.

Izohlar

Adabiyotlar

• Milton Abramovits va Irene A. Stegun, nashrlar. Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma formulalar, grafikalar va matematik jadvallar bilan, (1972) Dover, Nyu-York. (Ko'paytirish teoremalari boblar bo'yicha alohida-alohida keltirilgan)
• C. Truesdell "Maxsus funktsiyalar uchun qo'shish va ko'paytirish teoremalari to'g'risida ", Matematika Milliy Fanlar Akademiyasi materiallari, (1950) 752-757 betlar.