Orbitani modellashtirish - Orbit modeling

Orbitani modellashtirish massa tanasi harakatlanayotganda uni simulyatsiya qilish uchun matematik modellarni yaratish jarayoni orbitada tufayli boshqa massiv tanani atrofida tortishish kuchi. Uchinchi darajali jismlardan tortishish kuchi kabi boshqa kuchlar, havo qarshiligi, quyosh bosimi, yoki a qo'zg'alish tizim odatda ikkinchi darajali effekt sifatida modellashtiriladi. Orbitani to'g'ridan-to'g'ri modellashtirish chegaralarini oshirishi mumkin mashina aniqligi juda katta orbitalarda kichik bezovtaliklarni modellashtirish zarurati tufayli. Shuni dastidan; shu sababdan, bezovtalanish aniqliklarga erishish uchun ko'pincha orbitani modellashtirish uchun usullardan foydalaniladi.

Fon

Orbital harakatni va orbitalarni matematik modellashtirishni o'rganish osmonda sayyora harakatlarini bashorat qilishning birinchi urinishlaridan boshlandi, garchi qadimgi zamonlarda sabablari sir bo'lib qoldi. Nyuton, vaqtida u o'zining qonunlarini shakllantirgan harakat va of tortishish, ularni bezovtaliklarni birinchi tahlilida qo'llagan,^[1] ularni hisoblashning murakkab qiyinchiliklarini tan olish.^[1]O'shandan beri ko'plab buyuk matematiklar turli muammolarga e'tibor berishdi; 18-19 asrlarda dengizda suzish uchun Oy va sayyoralarning holatini aniq jadvallariga talab mavjud edi.

Orbitalarning murakkab harakatlarini buzish mumkin. Tananing faqat boshqa bir jismning tortishish ta'sirida kuzatadigan gipotetik harakati odatda a konus bo'limi va usullari bilan osonlikcha modellashtirish mumkin geometriya. Bunga a deyiladi ikki tanadagi muammo yoki bezovtalanmagan Keplerian orbitasi. Keplerian orbitasi va tananing haqiqiy harakati o'rtasidagi farqlar kelib chiqadi bezovtalik. Ushbu bezovtaliklar birlamchi va ikkilamchi jism o'rtasidagi tortishish ta'siridan tashqari boshqa kuchlar tomonidan yuzaga keladi va aniq orbitada simulyatsiya yaratish uchun modellashtirilgan bo'lishi kerak. Ko'pgina orbitalarni modellashtirish yondashuvlari ikki tanadagi muammoni modellashtiradi, so'ngra bu bezovta qiluvchi kuchlarning modellarini qo'shadi va vaqt o'tishi bilan ushbu modellarni taqlid qiladi. Perturbing kuchlari asosiy, quyosh shamoli, tortishish, magnit maydonlari va harakatlantiruvchi kuchlardan tashqari boshqa jismlarning tortishish kuchlarini o'z ichiga olishi mumkin.

Analitik echimlar (kelajakdagi istalgan vaqtda pozitsiyalar va harakatlarni bashorat qilish uchun matematik ifodalar) va oddiy ikki tanali uchun uch tanadagi muammolar mavjud; uchun hech narsa topilmadi n- odam muammosi ba'zi bir maxsus holatlar bundan mustasno. Agar tanalardan biri shakli notekis bo'lsa, hatto ikki tanadagi muammo ham erimaydi.^[2]

Ko'pchilik qiziqtirgan muammolarning analitik echimlarini topish qiyinligi sababli kompyuter modellashtirish va simulyatsiya odatda orbital harakatni tahlil qilish uchun ishlatiladi. Kabi savdo dasturiy ta'minot Sun'iy yo'ldosh uchun asboblar to'plami kosmik kemalarning orbitalari va traektoriyalarini simulyatsiya qilishning aniq maqsadi uchun yaratilgan.

Keplerian orbitasi modeli

Oddiy shaklda orbitaning modelini faqat ikkita jism ishtirok etadi, ikkalasi ham sferik nuqta-massa sifatida o'zini tutadi va jismlarga boshqa kuchlar ta'sir qilmaydi deb taxmin qilish orqali yaratish mumkin. Bu holda model a ga soddalashtirilgan Kepler orbitasi.

Keyinchalik Keplerian orbitalari konusning qismlari. Markaziy tanasi va aylanib yuruvchi tanasi orasidagi masofani beradigan orbitaning matematik modeli quyidagicha ifodalanishi mumkin:

${ displaystyle r ( nu) = { frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e cos ( nu)}}}$

Qaerda:

${ displaystyle r}$ masofa

${ displaystyle a}$ bo'ladi yarim katta o'q, bu orbitaning hajmini belgilaydi

${ displaystyle e}$ bo'ladi ekssentriklik, bu orbitaning shaklini belgilaydi

${ displaystyle nu}$ bo'ladi haqiqiy anomaliya, bu aylanayotgan ob'ektning hozirgi holati va uning orbitasida joylashgan joy orasidagi burchak markaziy korpusga eng yaqin ( periapsis )

Shu bilan bir qatorda, tenglama quyidagicha ifodalanishi mumkin:

${ displaystyle r ( nu) = { frac {p} {1 + e cos ( nu)}}}$

Qaerda ${ displaystyle p}$ deyiladi yarim latus rektum egri chiziq. Tenglamaning ushbu shakli, ayniqsa, yarim katta o'qi cheksiz bo'lgan parabolik traektoriyalar bilan ishlashda foydalidir.

Muqobil yondashuvdan foydalaniladi Isaak Nyuton "s umumjahon tortishish qonuni quyida ta'riflanganidek:

${ displaystyle F = G { frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

qaerda:

${ displaystyle F}$ bu ikki nuqta massasi orasidagi tortishish kuchining kattaligi

${ displaystyle G}$ bo'ladi tortishish doimiysi

${ displaystyle m_ {1}}$ birinchi nuqta massasining massasi

${ displaystyle m_ {2}}$ ikkinchi nuqta massasining massasi

${ displaystyle r}$ bu ikki nuqta massasi orasidagi masofa

Birlamchi jismning massasi ikkilamchi jismning massasidan ancha kattaroq va Nyuton o'rnini bosadigan qo'shimcha taxmin qilish. harakatning ikkinchi qonuni, natijada quyidagi differentsial tenglama olinadi

${ displaystyle { ddot { mathbf {r}}} = { frac {Gm_ {1}} {r ^ {2}}} mathbf { hat {r}}}$

Ushbu differentsial tenglamani echish orbitadagi Kepleriya harakatiga olib keladi, amalda Keplerian orbitalari odatda faqat birinchi darajali yaqinlashuvlar, maxsus holatlar yoki buzilgan orbitaning asosiy modeli sifatida foydalidir.

Orbitani simulyatsiya qilish usullari

Orbit modellari odatda vaqt va makonda maxsus yordamida tarqaladi bezovtalanish usullari. Bu birinchi bo'lib Keplerian orbitasi sifatida orbitani modellashtirish orqali amalga oshiriladi. Keyin orbitaga ta'sir qiladigan turli xil bezovtaliklarni hisobga olish uchun modelga bezovtaliklar qo'shiladi.^[1]Har qanday muammo bo'yicha maxsus bezovtaliklarni qo'llash mumkin samoviy mexanika, chunki bu bezovta qiluvchi kuchlar kichik bo'lgan holatlar bilan cheklanmaydi.^[2] Maxsus bezovtalanish usullari eng aniq mashinada ishlab chiqarishning asosidir sayyora efemeridlari.^[1]qarang, masalan, Reaktiv harakatlanish laboratoriyasining rivojlanishi Ephemeris

Kovell usuli

Kovell usuli. Barcha bezovta qiluvchi jismlardan (qora va kulrang) kuchlar yig'ilib, tanadagi umumiy kuchni hosil qiladi men (qizil), va bu raqamli ravishda dastlabki holatdan boshlab ( osculyatsiya davri).

Cowell usuli, ehtimol maxsus bezovtalanish usullaridan eng soddasi;^[3]matematik jihatdan, uchun ${ displaystyle n}$ o'zaro ta'sir qiluvchi organlar, Nyuton tanadagi kuchlar ${ displaystyle i}$ boshqa organlardan ${ displaystyle j}$ shunchaki umumlashtiriladi,

${ displaystyle mathbf { ddot {r}} _ {i} = sum _ { underset {j neq i} {j = 1}} ^ {n} {Gm_ {j} ( mathbf {r} _ {j} - mathbf {r} _ {i}) ustidan r_ {ij} ^ {3}}}$

qayerda

${ displaystyle mathbf { ddot {r}} _ {i}}$ bo'ladi tezlashtirish tananing vektori ${ displaystyle i}$

${ displaystyle G}$ bo'ladi tortishish doimiysi

${ displaystyle m_ {j}}$ bo'ladi massa tana ${ displaystyle j}$

${ displaystyle mathbf {r} _ {i}}$ va ${ displaystyle mathbf {r} _ {j}}$ ular pozitsion vektorlar ob'ektlar ${ displaystyle i}$ va ${ displaystyle j}$

${ displaystyle r_ {ij}}$ ob'ektdan masofa ${ displaystyle i}$ e'tiroz bildirmoq ${ displaystyle j}$

hamma bilan vektorlar ga murojaat qilish bariyenter tizimning. Ushbu tenglama ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle z}$ va ular raqamli ravishda birlashtirilib, yangi tezlik va pozitsiya vektorlarini hosil qiladi, chunki simulyatsiya vaqt ichida oldinga siljiydi. Cowell uslubining afzalligi - bu dastur va dasturlarning qulayligi. Kamchilik shundaki, bezovtalanishlar kattaligi kattalashganda (ob'ekt boshqasiga yaqinlashganda bo'lgani kabi) usulning xatolari ham katta bo'ladi.^[4]Yana bir noqulaylik shundaki, dominant markaziy tanasi bo'lgan tizimlarda, masalan Quyosh, ko'plarni olib yurish kerak muhim raqamlar ichida arifmetik markaziy tana va bezovta qiluvchi jismlar kuchlarining katta farqi tufayli.^[5]

Enke usuli

Enke usuli. Bu erda juda abartılı, kichik farq differencer (ko'k) tebranuvchi, bezovtalanmagan orbitasi (qora) va bezovta qilingan orbitasi (qizil) orasidagi, dastlabki holatidan boshlab ( osculyatsiya davri).

Enkening usuli tebranuvchi orbit mos yozuvlar sifatida va vaqt funktsiyasi sifatida mos yozuvlar o'zgarishini hal qilish uchun raqamli ravishda birlashadi.^[6]Uning afzalliklari shundan iboratki, bezovtalanishlar kattaligi jihatidan unchalik katta emas, shuning uchun integratsiya kattaroq bosqichlarda davom etishi mumkin (natijada kamroq xatolar yuzaga keladi) va bu usul Kovell uslubiga qaraganda haddan tashqari bezovtaliklarga juda oz ta'sir qiladi. Uning kamchiliklari murakkablikdir; vaqti-vaqti bilan osilib turadigan orbitani yangilamasdan va u erdan davom etmasdan, uni abadiy ishlatib bo'lmaydi, bu jarayon deb nomlanuvchi tuzatish.^[4][7]

Ruxsat berish ${ displaystyle { boldsymbol { rho}}}$ bo'lishi radius vektori ning tebranuvchi orbit, ${ displaystyle mathbf {r}}$ buzilgan orbitaning radius vektori va ${ displaystyle delta mathbf {r}}$ tebranuvchi orbitaning o'zgarishi,

${ displaystyle delta mathbf {r} = mathbf {r} - { boldsymbol { rho}},}$ va harakat tenglamasi ning ${ displaystyle delta mathbf {r}}$ oddiygina

(1)

${ displaystyle { ddot { delta mathbf {r}}} = mathbf { ddot {r}} - { boldsymbol { ddot { rho}}}.}$

(2)

${ displaystyle mathbf { ddot {r}}}$ va ${ displaystyle { boldsymbol { ddot { rho}}}}}$ ning harakat tenglamalari ${ displaystyle mathbf {r}}$ va ${ displaystyle { boldsymbol { rho}}}$,

${ displaystyle mathbf { ddot {r}} = mathbf {a} _ { text {per}} - { mu over r ^ {3}} mathbf {r}}$ buzilgan orbitada va

(3)

${ displaystyle { boldsymbol { ddot { rho}}} = - { mu over rho ^ {3}} { boldsymbol { rho}}}$ bezovtalanmagan orbitada,

(4)

qayerda ${ displaystyle mu = G (M + m)}$ bo'ladi tortishish parametri bilan ${ displaystyle M}$ va ${ displaystyle m}$ The ommaviy markaziy tanasi va bezovtalangan tanasi, ${ displaystyle mathbf {a} _ { text {per}}}$ bezovta qilmoqda tezlashtirish va ${ displaystyle r}$ va ${ displaystyle rho}$ ning kattaligi ${ displaystyle mathbf {r}}$ va ${ displaystyle { boldsymbol { rho}}}$.

Tenglamalardan almashtirish (3) va (4) tenglamaga (2),

${ displaystyle { ddot { delta mathbf {r}}} = mathbf {a} _ { text {per}} + mu left ({{ boldsymbol { rho}} over rho ^ {3}} - { mathbf {r} over r ^ {3}} right),}$

(5)

nazariy jihatdan ikki marta birlashtirilishi mumkin edi ${ displaystyle delta mathbf {r}}$. Ossulyatsiya orbitasi ikki tanali usullar bilan osonlikcha hisoblanganligi sababli, ${ displaystyle { boldsymbol { rho}}}$ va ${ displaystyle delta mathbf {r}}$ hisobga olinadi va ${ displaystyle mathbf {r}}$ hal qilinishi mumkin. Amalda, qavsdagi miqdor, ${ displaystyle {{ boldsymbol { rho}} over rho ^ {3}} - { mathbf {r} over r ^ {3}}}$, deyarli ikki teng vektorning farqi va qo'shimcha manipulyatsiyani oldini olish uchun qo'shimcha manipulyatsiya zarur muhim raqamlar.^[8][9]

Sperling-Burdet usuli

1991 yilda Viktor R. Bond va Maykl F. Frayta ikki tanani bezovta qilgan muammoni hal qilishning samarali va o'ta aniq usulini yaratdilar.^[10] Ushbu usulda Hans Sperling tomonidan ishlab chiqarilgan chiziqli va tartibga solingan differentsial harakat tenglamalari va C.A tomonidan ishlab chiqilgan ushbu tenglamalar asosida bezovtalanish nazariyasi qo'llaniladi. Burdet 1864 yilda. 1973 yilda Bond va Xanssen Burdetning differentsial tenglamalar to'plamini yaxshilab, ikki tana energiyasi o'rniga buzilgan tizimning umumiy energiyasini parametr sifatida ishlatishdi va elementlar sonini 13 ga kamaytirishdi. va Gotlib Yoqubian integralini joylashtirdi, bu potentsial funktsiya vaqtga va Nyuton tenglamalaridagi holatga aniq bog'liq bo'lganda doimiy bo'ladi. Yakobian doimiysi harakatning differentsial tenglamalarini qayta shakllantirishda umumiy energiyani almashtirish uchun element sifatida ishlatilgan. Ushbu jarayonda burchak momentumining tarkibiy qismiga mutanosib bo'lgan yana bir element kiritiladi. Bu elementlarning umumiy sonini 14 ga etkazdi. 1991 yilda Bond va Fritta Laplas vektorini boshqa vektor integrali bilan almashtirish bilan bir qatorda yana bir nechta revizyonlarni amalga oshirdilar, shuningdek, ba'zi birlar uchun differentsial tenglamalarda paydo bo'lgan kichik dunyoviy atamalarni olib tashlagan boshqa skaler integralni oldilar. elementlar.^[11]

Sperling-Burdet usuli 5 bosqichli jarayonda quyidagicha bajariladi:^[11]

1-qadam: ishga tushirish

Dastlabki pozitsiyani hisobga olgan holda, ${ displaystyle mathbf {r} _ {0}}$, dastlabki tezlik, ${ displaystyle mathbf {v} _ {0}}$va dastlabki vaqt, ${ displaystyle t_ {0}}$, quyidagi o'zgaruvchilar boshlangan:

${ displaystyle s = 0}$

${ displaystyle r_ {0} = ( mathbf {r} _ {0} cdot mathbf {r} _ {0}) ^ {1/2}}$

${ displaystyle a = r_ {0}}$

${ displaystyle b = mathbf {r} _ {0} cdot mathbf {v} _ {0}}$

${ displaystyle tau = t_ {0}}$

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = mathbf {r} _ {0}}$

${ displaystyle { boldsymbol { beta}} = a mathbf {v} _ {0}}$

Bezovta qiluvchi massa tufayli paydo bo'ladigan bezovtaliklar ${ displaystyle V_ {0}}$ va ${ displaystyle { Bigg [} { kısalt {V} over { partional { mathbf {r}}}} { Bigg]} _ {0}}$, baholanadi

Sifatida aniqlangan boshqa tezlashuvlar tufayli uyqusizlik ${ displaystyle mathbf {P} _ {0}}$, baholanadi

${ displaystyle alpha _ {J} = { frac {2 mu} {r_ {0}}} - mathbf {v} _ {0} cdot mathbf {v} _ {0} -2V_ {0 }}$

${ displaystyle gamma = mu - alfa _ {J} a}$

${ displaystyle { boldsymbol { delta}} = - ( mathbf {v} _ {0} cdot mathbf {v} _ {0}) mathbf {r} _ {0} + ( mathbf {r } _ {0} cdot mathbf {v} _ {0}) mathbf {v} _ {0} + { frac { mu} {r_ {0}}} mathbf {r} _ {0} - alpha _ {J} mathbf {r} _ {0}}$

${ displaystyle sigma = 0}$

2-qadam: Elementlarni koordinatalarga aylantirish

${ displaystyle mathbf {r} = { boldsymbol { alpha}} + { boldsymbol { beta}} sc_ {1} + { boldsymbol { delta}} s ^ {2} c_ {2}}$

${ displaystyle mathbf {r '} = { boldsymbol { beta}} c_ {0} + { boldsymbol { delta}} sc_ {1}}$

${ displaystyle mathbf {x} _ {3} = alfa _ {J} ({ boldsymbol { alpha}} - mathbf {r}) + { boldsymbol { delta}}}$

${ displaystyle gamma = mu - alfa _ {J} a}$

${ displaystyle r = a + bsc_ {1} + gamma s ^ {2} c_ {2}}$

${ displaystyle mathbf {v} = mathbf {r '} / r}$

${ displaystyle r '= bc_ {0} + gamma sc_ {1}}$

${ displaystyle t = tau + as + bs ^ {2} c_ {2} + gamma s ^ {3} c_ {3}}$

qayerda ${ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}}$ bor Stumpff funktsiyalari

3-qadam: Elementlar uchun differentsial tenglamalarni baholang

${ displaystyle mathbf {F} = mathbf {P} - { qism {V} over partional { mathbf {r}}}}$

${ displaystyle mathbf {Q} = r ^ {2} mathbf {F} +2 mathbf {r} (-V + sigma)}$

${ displaystyle alpha '_ {J} = 2 (- mathbf {r'} + r { boldsymbol { omega}} times mathbf {r}) cdot mathbf {P}}$

${ displaystyle mu { boldsymbol { epsilon}} '= 2 ( mathbf {r'} cdot mathbf {F}) mathbf {r} - ( mathbf {r} cdot mathbf {F} ) mathbf {r '} - ( mathbf {r} cdot mathbf {r'}) mathbf {F}}$

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} '= - mathbf {Q} sc_ {1} - mu { boldsymbol { epsilon}} ning ^ {2} c_ {2} - alpha' _ { J} { big [} { boldsymbol { alpha}} s ^ {2} c_ {2} +2 { boldsymbol { beta}} s ^ {3} { bar {c}} _ {3} + { frac {1} {2}} { boldsymbol { delta}} s ^ {4} c_ {2} ^ {2} { big]}}$

${ displaystyle { boldsymbol { beta}} '= mathbf {Q} c_ {0} + mu { boldsymbol { epsilon}}' sc_ {1} + alpha '_ {J} { big [ } { boldsymbol { alpha}} sc_ {1} + { boldsymbol { beta}} s ^ {2} { bar {c}} _ {2} - { boldsymbol { delta}} s ^ { 3} (2 { bar {c}} _ {3} -c_ {1} c_ {2}) { big]}}$

${ displaystyle { boldsymbol { delta}} '= mathbf {Q} alpha _ {J} sc_ {1} - mu { boldsymbol { epsilon}}' c_ {0} + alpha '_ { J} { big [} - { boldsymbol { alpha}} c_ {0} +2 alpha _ {J} { boldsymbol { beta}} s ^ {3} { bar {c}} _ { 3} + { frac {1} {2}} { boldsymbol { delta}} alpha _ {J} s ^ {4} c_ {2} ^ {2} { big]}}$

${ displaystyle sigma '= r { boldsymbol { omega}} cdot mathbf {r} times mathbf {F}}$

${ displaystyle a '= - { frac {1} {r}} mathbf {r} cdot mathbf {Q} sc_ {1} - alpha _ {J}' { big [} ^ ^ 2 sifatida } c_ {2} + 2bs ^ {3} { bar {c}} _ {3} + { frac {1} {2}} gamma s ^ {4} c_ {2} ^ {2} { katta]}}$

${ displaystyle b '= { frac {1} {r}} mathbf {r} cdot mathbf {Q} c_ {0} + alpha _ {J}' { big [} asc_ {1} + bs ^ {2} { bar {c}} _ {2} - gamma s ^ {3} (2 { bar {c}} _ {3} -c_ {1} c_ {2}) { big ]}}$

${ displaystyle gamma '= - { frac {1} {r}} mathbf {r} cdot mathbf {Q} alpha _ {J} sc_ {1} + alpha _ {J}' { katta [} -ac_ {0} + 2b alfa _ {J} s ^ {3} { bar {c}} _ {3} + { frac {1} {2}} gamma alfa _ {J } s ^ {4} c_ {2} ^ {2} { big]}}$

${ displaystyle tau '= { frac {1} {r}} mathbf {r} cdot mathbf {Q} s ^ {2} c_ {2} + alpha _ {J}' { big [ } sifatida ^ {3} c_ {3} + { frac {1} {2}} bs ^ {4} c_ {2} ^ {2} -2 gamma s ^ {5} (c_ {5} -4) { bar {c}} _ {5}) { big]}}$

4-qadam: Integratsiya

Bu erda differentsial tenglamalar ma'lum bir davrda birlashtirilgan ${ displaystyle Delta s}$ element qiymatini olish uchun ${ displaystyle s + Delta s}$

5-qadam: avans

O'rnatish ${ displaystyle s = s + Delta s}$ va simulyatsiyani to'xtatish shartlari bajarilmaguncha 2-bosqichga qayting.

Bezovta qiluvchi kuchlarning modellari

Bezovta qiluvchi kuchlar orbitalarni mukammal Keplerian orbitasidan bezovta bo'lishiga olib keladi. Ushbu kuchlarning har biri uchun modellar orbitani simulyatsiya qilish jarayonida yaratiladi va bajariladi, shuning uchun ularning orbitaga ta'sirini aniqlash mumkin.

Sferik bo'lmagan tortishish kuchi

Yer mukammal shar emas va massa Yer ichida bir tekis taqsimlanmagan. Buning natijasida massa tortishish kuchi modeli Yer atrofidagi aylanalar uchun noto'g'ri, xususan Kam Yer orbitalari. Yer yuzasi atrofidagi tortishish potentsialining o'zgarishini hisobga olish uchun Yerning tortishish maydoni sharsimon harmonikalar bilan modellashtirilgan^[12] tenglama orqali ifodalangan:

${ displaystyle { mathbf {f}} = - { frac { mu} {R ^ {2}}} mathbf { hat {r}} + sum _ {n = 2} ^ { infty} sum _ {m = 0} ^ {n} { mathbf {f}} _ {n, m}}$

qayerda

${ displaystyle { mu}}$ G ning hosilasi sifatida aniqlangan tortishish parametri, universal tortishish doimiysi va asosiy tana massasi.

${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ bilan asosiy va ikkilamchi jismlar orasidagi masofani belgilaydigan birlik vektori ${ displaystyle {R}}$ masofaning kattaligi bo'lish.

${ displaystyle { mathbf {f}} _ {n, m}}$ hissasini anglatadi ${ displaystyle { mathbf {f}}}$ darajadagi sferik harmonikaning n va buyurtma mquyidagicha aniqlanadi:^[12]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {f} _ {n, m} & = { frac { mu R_ {O} ^ {2}} {R ^ {n + m + 1}}} chap ({ frac {C_ {n, m} { mathcal {C}} _ ​​{m} + S_ {n, m} { mathcal {S}} _ {m}} {R}} (A_ {n , m + 1} mathbf { hat {e}} _ {3} - chap (s _ { lambda} A_ {n, m + 1} + (n + m + 1) A_ {n, m} right) mathbf { hat {r}} right) [10pt] & {} quad {} + mA_ {n, m} ((C_ {n, m} { mathcal {C}} _ ​​{) m-1} + S_ {n, m} { mathcal {S}} _ {m-1}) mathbf { hat {e}} _ {1} + (S_ {n, m} { mathcal { C}} _ ​​{m-1} -C_ {n, m} { mathcal {S}} _ {m-1}) mathbf { hat {e}} _ {2})) end {aligned} }}$

qaerda:

${ displaystyle R_ {O}}$ birlamchi jismning o'rtacha ekvator radiusi.

${ displaystyle R}$ birlamchi tananing markazidan ikkilamchi tananing markaziga pozitsiya vektorining kattaligi.

${ displaystyle C_ {n, m}}$ va ${ displaystyle S_ {n, m}}$ darajaning tortishish koeffitsientlari n va buyurtma m. Ular odatda topiladi gravimetriya o'lchovlar.

Birlik vektorlari ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {1}, mathbf { hat {e}} _ {2}, mathbf { hat {e}} _ {3}}$ asosiy korpusga o'rnatilgan koordinata tizimini aniqlang. Yer uchun, ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {1}}$ Yerning geometrik markazi va ni kesib o'tgan chiziqqa parallel ravishda ekvatorial tekislikda yotadi Grinvich meridiani,${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {3}}$ Shimoliy qutb o'qi yo'nalishi bo'yicha nuqtalar va ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {2} = mathbf { hat {e}} _ {3} times mathbf { hat {e}} _ {1}}$

${ displaystyle A_ {n, m}}$ olingan deb ataladi Legendre polinom daraja n va buyurtma m. Ular orqali hal etiladi takrorlanish munosabati: ${ displaystyle A_ {n, m} (u) = { frac {1} {nm}} ((2n-1) uA_ {n-1, m} (u) - (n + m-1) A_ { n-2, m} (u))}$

${ displaystyle s _ { lambda}}$ ikkilamchi jismning geografik kengligining sinusi, ya'ni ${ displaystyle mathbf { hat {r}} cdot mathbf { hat {e}} _ {3}}$.

${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{m}, { mathcal {S}} _ {m}}$ quyidagi takrorlanish munosabati va boshlang'ich shartlari bilan aniqlanadi:${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{m} = { mathcal {C}} _ ​​{1} { mathcal {C}} _ ​​{m-1} - { mathcal {S}} _ {1 } { mathcal {S}} _ {m-1}, { mathcal {S}} _ {m} = { mathcal {S}} _ {1} { mathcal {C}} _ ​​{m-1 } + { mathcal {C}} _ ​​{1} { mathcal {S}} _ {m-1}, { mathcal {S}} _ {0} = 0, { mathcal {S}} _ { 1} = mathbf {R} cdot mathbf { hat {e}} _ {2}, { mathcal {C}} _ ​​{0} = 1, { mathcal {C}} _ ​​{1} = mathbf {R} cdot mathbf { hat {e}} _ {1}}$

Asosiy tana atrofidagi orbitaning bezovtalanishini modellashtirishda faqatgina yig'indisi bor ${ displaystyle { mathbf {f}} _ {n, m}}$ atamalar bezovtalanishga kiritilishi kerak, chunki tortishish nuqtasi massasi hisobga olingan ${ displaystyle - { frac { mu} {R ^ {2}}} mathbf { hat {r}}}$ muddat

Uchinchi tana bezovtaliklari

Uchinchi jismlarning tortishish kuchlari orbitada bezovtaliklarni keltirib chiqarishi mumkin. Masalan, Quyosh va Oy Yer atrofidagi Orbitalar uchun bezovtaliklarni keltirib chiqaradi.^[13] Ushbu kuchlar tortishish kuchi birlamchi tanasi uchun modellashtirilgani kabi modellashtirilgan N-tanani to'g'ridan-to'g'ri tortishish simulyatsiyalari. Odatda, bu uchinchi jismlardan effektlarni modellashtirish uchun faqat sferik nuqta-massa tortishish modeli qo'llaniladi.^[14]Uchinchi tana bezovtalanishining ayrim maxsus holatlari taxminiy analitik echimlarga ega. Masalan, yuqoriga ko'tarilgan tugunning ko'tarilishi va perigeyaning aylana Yer orbitasi uchun argumenti:^[13]

${ displaystyle { dot { Omega}} _ { mathrm {MOON}} = - 0.00338 ( cos (i)) / n}$

${ displaystyle { dot { omega}} _ { mathrm {MOON}} = - 0.00169 (4-5 sin ^ {2} (i)) / n}$

qaerda:

${ displaystyle { dot { Omega}}}$ ko'tarilgan tugunning o'ng darajadagi ko'tarilishining kuniga daraja o'zgarishi.

${ displaystyle { dot { omega}}}$ perigey argumentining kuniga darajadagi o'zgarishi.

${ displaystyle i}$ bu orbital moyillikdir.

${ displaystyle n}$ kuniga orbital aylanishlarning soni.

Quyosh nurlanishi

Quyosh nurlanish bosimi orbitalarni bezovta qiladi. U tezlashish koeffitsienti Yer orbitasidagi kosmik kemaga quyidagi tenglama yordamida modellashtirilgan:^[13]

${ displaystyle a_ {R} taxminan -4.5 marta 10 ^ {- 6} (1 + r) A / m}$

qaerda:

${ displaystyle a_ {R}}$ - sekundiga kvadratiga tezlanishning metrdagi kattaligi.

${ displaystyle A}$ ga ta'sir qiladigan tasavvurlar maydoni Quyosh kvadrat metrga teng.

${ displaystyle m}$ kosmik kemaning massasi kilogramm.

${ displaystyle r}$ moddiy xususiyatlarga bog'liq bo'lgan aks etuvchi omil. ${ displaystyle r = 0}$ singdirish uchun, ${ displaystyle r = 1}$ ko'zoynak aks ettirish uchun va ${ displaystyle r taxminan 0.4}$ diffuz aks ettirish uchun.

Yer atrofidagi orbitalar uchun quyosh radiatsiyasi bosimi 800 km balandlikdan yuqoriroq kuchga ega kuchga aylanadi.^[13]

Harakatlanish

Kosmik kemalarni harakatga keltirishning turli xil turlari mavjud. Raketa dvigatellari eng ko'p ishlatiladiganlardan biridir. Raketa dvigatelining kuchi tenglama bilan modellashtirilgan:^[15]

${ displaystyle F_ {n} = { nuqta {m}} ; v _ { text {e}} = { nuqta {m}} ; v _ { text {e-act}} + A _ { text {e}} (p _ { text {e}} - p _ { text {amb}})}$

qaerda:
${ displaystyle { dot {m}}}$	= chiqindi gaz massasi oqimi
${ displaystyle v _ { text {e}}}$	= samarali egzoz tezligi
${ displaystyle v _ { text {e-act}}}$	= nozuldan chiqish tekisligidagi haqiqiy reaktiv tezlik
${ displaystyle A _ { text {e}}}$	= shtutserning chiqish tekisligidagi oqim maydoni (yoki ajratilgan oqim bo'lsa, reaktiv nozulni tark etadigan tekislik)
${ displaystyle p _ { text {e}}}$	= shtutserning chiqish tekisligidagi statik bosim
${ displaystyle p _ { text {amb}}}$	= atrof-muhit (yoki atmosfera) bosimi

Boshqa mumkin bo'lgan usul - bu quyosh suzib yurishi. Quyosh yelkanlaridan foydalanish radiatsiya bosimi kerakli harakatlantiruvchi kuchga erishish yo'lida.^[16] Quyosh shamoli tufayli bezovtalanish modeli quyosh suzib yuradigan qo'zg'atuvchi kuch modeli sifatida ishlatilishi mumkin.

Drag

Yerning past orbitasida sun'iy yo'ldoshlarga ta'sir qiluvchi asosiy tortishish kuchi atmosfera tortishishidir.^[13] Drag tezlik yo'nalishiga qarshi harakat qiladi va energiyani orbitadan olib tashlaydi. Suyuqlik kuchi quyidagi tenglama bilan modellashtirilgan:

${ displaystyle F_ {D} , = , { tfrac {1} {2}} , rho , v ^ {2} , C_ {d} , A,}$

qayerda

${ displaystyle mathbf {F} _ {D}}$ bo'ladi kuch tortish,

${ displaystyle mathbf {} rho}$ bo'ladi zichlik suyuqlik,^[17]

${ displaystyle mathbf {} v}$ bo'ladi tezlik ob'ektning suyuqlikka nisbatan,

${ displaystyle mathbf {} C_ {d}}$ bo'ladi tortish koeffitsienti (a o'lchovsiz parametr, masalan. Ko'pgina sun'iy yo'ldoshlar uchun 2 dan 4 gacha^[13])

${ displaystyle mathbf {} A}$ ma'lumotnoma maydon.

Balandligi 120 km dan past bo'lgan orbitalar, odatda, shunday yuqori tortishish kuchiga ega bo'ladiki, orbitalar juda tez parchalanib, har qanday amaliy vazifani bajarish uchun sun'iy yo'ldoshga yetarli umr berishiga imkon beradi. Boshqa tomondan, balandligi 600 km dan yuqori bo'lgan orbitalar nisbatan kichik tortishishlarga ega, shuning uchun orbit etarlicha sekin parchalanadi, shuning uchun uning foydalanish muddati davomida sun'iy yo'ldoshga haqiqiy ta'siri bo'lmaydi.^[13] Havoning zichligi da sezilarli darajada farq qilishi mumkin termosfera eng past Yerning sun'iy yo'ldoshlari joylashgan joyda. O'zgarish, avvalambor, quyosh faolligi bilan bog'liq va shuning uchun quyosh faolligi kosmik kemadagi tortish kuchiga katta ta'sir ko'rsatishi va uzoq muddatli orbitada simulyatsiyani murakkablashtirishi mumkin.^[13]

Magnit maydonlari

Magnit maydonlari ko'rinib turganidek, orbitaning bezovtalanish manbai sifatida muhim rol o'ynashi mumkin Uzoq muddatli ta'sir qilish mexanizmi.^[12] Gravitatsiya singari, Yerning magnit maydoni ham sharsimon harmonikalar orqali quyida ko'rsatilgandek ifodalanishi mumkin:^[12]

${ displaystyle { mathbf {B}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} sum _ {m = 0} ^ {n} { mathbf {B}} _ {n, m}}$

qayerda

${ displaystyle { mathbf {B}}}$ magnit maydon vektori - bu Yer yuzasidan.

${ displaystyle { mathbf {B}} _ {n, m}}$ hissasini anglatadi ${ displaystyle { mathbf {B}}}$ darajadagi sferik harmonikaning n va buyurtma mquyidagicha belgilanadi:^[12]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {B} _ {n, m} = {} & { frac {K_ {n, m} a ^ {n + 2}} {R ^ {n + m + 1}}} chap [{ frac {g_ {n, m} { mathcal {C}} _ ​​{m} + h_ {n, m} { mathcal {S}} _ {m}} {R} } ((s _ { lambda} A_ {n, m + 1} + (n + m + 1) A_ {n, m}) mathbf { hat {r}}) -A_ {n, m + 1} mathbf { hat {e}} _ {3} right] [10pt] & {} - mA_ {n, m} ((g_ {n, m} { mathcal {C}} _ ​​{m- 1} + h_ {n, m} { mathcal {S}} _ {m-1}) mathbf { hat {e}} _ {1} + (h_ {n, m} { mathcal {C} } _ {m-1} -g_ {n, m} { mathcal {S}} _ {m-1}) mathbf { hat {e}} _ {2})) end {hizalangan}}}$

qaerda:

${ displaystyle a}$ birlamchi jismning o'rtacha ekvator radiusi.

${ displaystyle R}$ birlamchi tananing markazidan ikkilamchi tananing markaziga pozitsiya vektorining kattaligi.

${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ boshlang'ich tananing markazida kelib chiqishi bilan ikkilamchi tana yo'nalishi bo'yicha birlik vektori.

${ displaystyle g_ {n, m}}$ va ${ displaystyle h_ {n, m}}$ Gauss koeffitsientlari n va buyurtma m. Ular odatda topiladi magnit maydon o'lchovlar.

Birlik vektorlari ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {1}, mathbf { hat {e}} _ {2}, mathbf { hat {e}} _ {3}}$ asosiy korpusga o'rnatilgan koordinata tizimini aniqlang. Yer uchun, ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {1}}$ Yerning geometrik markazi va ni kesib o'tgan chiziqqa parallel ravishda ekvatorial tekislikda yotadi Grinvich meridiani,${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {3}}$ Shimoliy qutb o'qi yo'nalishi bo'yicha nuqtalar va ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {2} = mathbf { hat {e}} _ {3} times mathbf { hat {e}} _ {1}}$

${ displaystyle A_ {n, m}}$ olingan deb ataladi Legendre polinom daraja n va buyurtma m. Ular takrorlanish munosabati bilan hal qilinadi: ${ displaystyle A_ {n, m} (u) = { frac {1} {nm}} ((2n-1) uA_ {n-1, m} (u) - (n + m-1) A_ { n-2, m} (u))}$

${ displaystyle K_ {n, m}}$ quyidagicha aniqlanadi: 1 agar m = 0, ${ displaystyle { big [} { frac {n-m} {n + m}} { big]} ^ {0.5} K_ {n-1, m}}$ uchun ${ displaystyle n geq (m + 1)}$ va ${ displaystyle m = [1 ldots infty]}$ va ${ displaystyle [(n + m) (n-m + 1)] ^ {- 0.5} K_ {n, m-1}}$ uchun ${ displaystyle n geq m}$ va ${ displaystyle m = [2 ldots infty]}$

${ displaystyle s _ { lambda}}$ ikkilamchi jismning geografik kengligining sinusi, ya'ni ${ displaystyle mathbf { hat {r}} cdot mathbf { hat {e}} _ {3}}$.

${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{m}, { mathcal {S}} _ {m}}$ quyidagi takrorlanish munosabati va boshlang'ich shartlari bilan aniqlanadi:${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{m} = { mathcal {C}} _ ​​{1} { mathcal {C}} _ ​​{m-1} - { mathcal {S}} _ {1 } { mathcal {S}} _ {m-1}, { mathcal {S}} _ {m} = { mathcal {S}} _ {1} { mathcal {C}} _ ​​{m-1 } + { mathcal {C}} _ ​​{1} { mathcal {S}} _ {m-1}, { mathcal {S}} _ {0} = 0, { mathcal {S}} _ { 1} = mathbf {R} cdot mathbf { hat {e}} _ {2}, { mathcal {C}} _ ​​{0} = 1, { mathcal {C}} _ ​​{1} = mathbf {R} cdot mathbf { hat {e}} _ {1}}$

Shuningdek qarang

• n-tana muammosi
• Orbital rezonans
• Osculate orbit
• Perturbatsiya (astronomiya)
• Ta'sir doirasi (astrodinamika)
• Ikki tanadagi muammo

Izohlar va ma'lumotnomalar

Tashqi havolalar

• [1] Yerning tortishish xaritalari