P-laplasiya - P-Laplacian

Yilda matematika, p-Laplacianyoki p-Laplace operatori, kvazilinear elliptik qisman differentsial operator ikkinchi darajali. Bu ning nochiziqli umumlashmasi Laplas operatori, qayerda ${displaystyle p}$ oralig'ida turishga ruxsat berilgan ${displaystyle 1$

. Sifatida yozilgan

${displaystyle Delta _ {p} u: = abla cdot (| abla u | ^ {p-2} abla u).}$

Qaerda ${displaystyle | abla u | ^ {p-2}}$ sifatida belgilanadi

${displaystyle quad | abla u | ^ {p-2} = chap [extstyle chap ({frac {qisman u} {qisman x_ {1}}} ight) ^ {2} + cdots + chap ({frac {qisman u}) {qisman x_ {n}}} kech) ^ {2} tun] ^ {frac {p-2} {2}}}$

Qachon maxsus holatda ${displaystyle p = 2}$, bu operator odatdagiga qisqartiradi Laplasiya.^[1] O'z ichiga olgan tenglamalarning umumiy echimlarida p-Laplasiyada klassik ma'noda ikkinchi darajali hosilalar mavjud emas, shuning uchun bu tenglamalarning echimlari deb tushunilishi kerak kuchsiz eritmalar. Masalan, biz funktsiya deymiz siz ga tegishli Sobolev maydoni ${displaystyle W ^ {1, p} (Omega)}$ ning zaif echimi

${displaystyle Delta _ {p} u = 0 {mbox {in}} Omega}$

agar har bir sinov funktsiyasi uchun ${displaystyle varphi C_ {0} ^ {infty} (Omega)} da$ bizda ... bor

${displaystyle int _ {Omega} | abla u | ^ {p-2} abla ucdot abla varphi, dx = 0}$

qayerda ${displaystyle cdot}$ standartni bildiradi skalar mahsuloti.

Energiya formulasi

Ning zaif eritmasi p-Laplace tenglamasi Dirichletning chegara shartlari

${displaystyle {egin {case} -Delta _ {p} u = f & {mbox {in}} Omega u = g & {mbox {on}} qisman Omega end {case}}}$

domenda ${displaystyle Omega subath mathbb {R} ^ {N}}$ ning minimayzeridir energiya funktsional

${displaystyle J (u) = {frac {1} {p}}, int _ {Omega} | abla u | ^ {p}, dx-int _ {Omega} f, u, dx}$

barcha funktsiyalar orasida Sobolev maydoni ${displaystyle W ^ {1, p} (Omega)}$ ichidagi chegara shartlarini qondirish iz sezgi.^[1] Muayyan holatda ${displaystyle f = 1, g = 0}$ va ${displaystyle Omega}$ radiusi 1 bo'lgan to'p, yuqoridagi masalaning kuchsiz echimi aniq hisoblanishi mumkin va berilgan

${displaystyle u (x) = C, chap (1- | x | ^ {frac {p} {p-1}} ight)}$

qayerda ${displaystyle C}$ o'lchamiga qarab mos keladigan doimiy bo'ladi ${displaystyle N}$ va boshqalar ${displaystyle p}$ faqat. Shunga e'tibor bering ${displaystyle p> 2}$ yechim ikki marta emas farqlanadigan klassik ma'noda.

Izohlar

Manbalar

• Evans, Lourens S (1982). "Mahalliyning yangi isboti ${displaystyle C ^ {1, alfa}}$ Ayrim degenerat Elliptik P.D.E. echimlari uchun muntazamlik. " Differentsial tenglamalar jurnali. 45: 356–373. doi:10.1016 / 0022-0396 (82) 90033-x. JANOB  0672713.
• Lyuis, Jon L. (1977). "Qavariq halqalarda sig'im funktsiyalari". Ratsional mexanika va tahlil arxivi. 66: 201–224. doi:10.1007 / bf00250671. JANOB  0477094.

Qo'shimcha o'qish

• Ladyženskaja, O. A.; Solonnikov, V. A.; Ural'ceva, N. N. (1968), Parabolik tipdagi chiziqli va kvazi chiziqli tenglamalar, Matematik monografiyalar tarjimalari, 23, Providence, RI: Amerika matematik jamiyati, XI + 648-betlar, JANOB  0241821, Zbl  0174.15403.
• Uhlenbek, K. (1977). "Lineer bo'lmagan elliptik tizimlar klassi uchun muntazamlik". Acta Mathematica. 138: 219–240. doi:10.1007 / bf02392316. JANOB  0474389.
• P-Laplas tenglamasi bo'yicha eslatmalar Piter Lindqvist tomonidan
• Xuan Manfredi, p-harmonik funktsiyalarni kuchli taqqoslash printsipi

Bu matematik tahlil - tegishli maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.