Halqa radikalidir - Radical of a ring - Wikipedia

Yilda halqa nazariyasi, filiali matematika, a halqaning radikalidir bu ideal ning "yaxshi emas" elementlari uzuk.

Radikalning birinchi misoli nilradikal tomonidan kiritilgan Köte (1930), taklifiga asoslanib Vedberbern (1908). Keyingi bir necha yil ichida yana bir qancha radikallar topildi, ulardan eng muhim namunasi Jeykobson radikal. Radikallarning umumiy nazariyasini mustaqil ravishda (Amitsur) aniqlagan1952, 1954, 1954b ) va Kurosh (1953).

Ta'riflar

Radikallar nazariyasida halqalar odatda assotsiativ deb qabul qilinadi, lekin komutativ bo'lmasligi va identifikatsiya elementiga ega bo'lishi shart emas. Xususan, uzukdagi har bir ideal ham uzukdir.

A radikal sinf (shuningdek, deyiladi radikal xususiyat yoki shunchaki radikal), ehtimol identifikatsiyasiz rings halqalar sinfi, quyidagilar:

halqaning gomomorfik tasviri σ da ham
har bir uzuk R idealni o'z ichiga oladi S(Rning har qanday boshqa idealini o'z ichiga olgan σ da R bu in da
S(R/S(R)) = 0. Ideal S(R) ning radikal yoki b-radikal deyiladi R.

Bunday radikallarni o'rganish deyiladi burama nazariyasi.

Har qanday δ halqalar sinfi uchun eng kichik radikal sinf mavjud Lδ uni o'z ichiga olgan, deb nomlangan pastki radikal δ. Operator L deyiladi pastki radikal operator.

Uzuklar sinfi deyiladi muntazam agar sinfdagi halqaning har bir nolga teng bo'lmagan idealida sinfda nolga teng bo'lmagan rasm bo'lsa. Har bir doimiy halqalar sinfi uchun eng katta radikal sinf mavjud U$ Delta $ bilan, nol bilan kesishgan $ phi $ yuqori radikal deb nomlanadi. Operator U deyiladi yuqori radikal operator.

Uzuklar sinfi deyiladi irsiy agar sinfdagi har qanday ringning ideallari ham sinfga tegishli bo'lsa.

Misollar

Jeykobson radikal

Ruxsat bering R har qanday uzuk bo'ling, albatta kommutativ emas. The Jakobson radikalining R barchani yo'q qiluvchilarning kesishishi oddiy to'g'ri R-modullar.

Jakobson radikalining bir nechta ekvivalent tavsiflari mavjud, masalan:

J (R) ning maksimal maksimal o'ng (yoki chap) ideallarining kesishishi R.
J (R) ning barcha o'ng (yoki chap) ibtidoiy ideallarining kesishishi R.
J (R) - maksimal maksimal o'ng (yoki chap) yarim-muntazam o'ng (chap. chap) ideal R.

Nilradikal kabi, biz ham ushbu ta'rifni o'zboshimchalik bilan ikki tomonlama ideallarga etkazishimiz mumkin Men belgilash orqali J (Men) J ning ustunligi bo'lishi (R / I) proektsiyalash xaritasi ostida R→R / I.

Agar R kommutativ, Jeykobson radikalida doimo nilradikal mavjud. Agar uzuk bo'lsa R nihoyatda hosil bo'lgan Z-algebra, keyin nilradikal Jakobson radikaliga teng, va umuman olganda: har qanday idealning radikalidir Men ning har doimgi maksimal ideallari kesishmasiga teng bo'ladi R o'z ichiga olgan Men. Bu shunday deydi R a Jeykobson uzuk.

Baer radikal

Ringning Baer radikallari - ning kesishishi asosiy ideallar halqa R. Bunga teng ravishda bu eng kichik yarim yarim idealdir R. Baer radikali - bu nilpotent halqalar sinfining pastki radikalidir. Shuningdek, "pastki nilradikal" deb nomlangan (va Nil bilan belgilanadi_∗R), "asosiy radikal" va "Baer-Makkoy radikal". Baer radikalining har qanday elementi nolpotent, demak u nil ideal.

Kommutativ halqalar uchun bu shunchaki nilradikal va ta'rifini diqqat bilan kuzatib boradi idealning radikalligi.

Yuqori nil radikal yoki Köthe radikal

Ning yig'indisi nil ideallar uzuk R yuqori nilradikal Nil^*R yoki Köthe radikalidir va bu eng noyob nil idealdir R. Kote gumoni chap nil ideal nilradikalda yoki yo'qligini so'raydi.

Yagona radikal

(Kommutativ bo'lmagan halqa bo'lishi mumkin) elementi chap deb nomlanadi yakka agar u yo'q qilsa muhim ideal ideal, anavi, r agar birlikda qoldirilsa Ir Ba'zi muhim chap ideallar uchun = 0 Men. Halqaning chap singular elementlari to'plami R deb nomlangan ikki tomonlama idealdir chap birlik ideal, va belgilanadi ${ displaystyle { mathcal {Z}} (_ {R} R) ,}$ . Ideal N ning R shu kabi ${ displaystyle N / { mathcal {Z}} (_ {R} R) = { mathcal {Z}} (_ {R / { mathcal {Z}} (_ {R} R)} R / { mathcal {Z}} (_ {R} R)) ,}$ bilan belgilanadi ${ displaystyle { mathcal {Z}} _ {2} (_ {R} R)}$ va deyiladi singular radikal yoki Goldi burama ning R. Yagona radikal asosiy radikalni o'z ichiga oladi (kommutativ halqalarda nilradikal), lekin hatto kommutativ holatda ham uni to'g'ri o'z ichiga olishi mumkin. Shu bilan birga, a ning yagona radikalidir Noetherian uzuk har doim nilpotent.

Levitski radikal

Levitski radikaliga o'xshash, eng katta mahalliy nilpotent ideal deb ta'riflanadi Xirsh-Plotkin radikallari guruhlar nazariyasida. Agar uzuk bo'lsa noeteriya, keyin Levitski radikalining o'zi nilpotent idealdir, shuning uchun ham eng katta chap, o'ng yoki ikki tomonlama nilpotent ideal.

Braun-Makkoy radikal

Braun-Makkoy radikal (deb nomlangan kuchli radikal nazariyasida Banach algebra ) quyidagi usullardan biri bilan aniqlanishi mumkin:

maksimal ikki tomonlama ideallarning kesishishi
barcha maksimal modul ideallarining kesishishi
hamma sinfning yuqori radikalidir oddiy halqalar shaxs bilan

Braun-Makkoy radikalini 1 bilan assotsiativ halqalarga qaraganda ancha katta umumiylikda o'rganiladi.

Fon Neyman doimiy radikal

A fon Neymanning doimiy qo'ng'irog'i uzuk A (ehtimol, shaxsiyatsiz kommutativ bo'lmagan), shuning uchun har bir kishi uchun a ba'zilari bor b bilan a = aba. Fon Neymanning doimiy halqalari radikal sinfni tashkil qiladi. Unda a ustidagi har qanday matritsali uzuk mavjud bo'linish algebra, lekin nol uzuklarni o'z ichiga olmaydi.

Artinian radikal

Artinian radikal odatda ikki tomonlama uchun belgilanadi Noeteriya uzuklari mavjud bo'lgan barcha ideal ideallarning yig'indisi sifatida Artinian modullari. Ta'rif chapdan o'ngga nosimmetrik bo'lib, haqiqatan ham halqaning ikki tomonlama idealini hosil qiladi. Ushbu radikal noeteriya halqalarini o'rganishda muhim ahamiyatga ega Chatters (1980).

Shuningdek qarang

Ga tegishli foydalanish radikal halqalarning radikallari bo'lmagan:

Adabiyotlar

Andrunakievich, V.A. (2001) [1994], "Ring va algebralarning radikalligi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Chatters, A. V.; Hajarnavis, C. R. (1980), Zanjirli shartli uzuklar, Matematika bo'yicha izohlar, 44, Boston, Mass.: Pitman (Advanced Publishing Program), vii + 197, ISBN 0-273-08446-1, JANOB 0590045
Divinsky, N. J. (1965), Uzuklar va radikallar, 14-sonli matematik ekspozitsiyalar, Toronto universiteti matbuoti, JANOB 0197489
Gardner, B. J .; Wiegandt, R. (2004), Uzuklarning radikal nazariyasi, Sof va amaliy matematikadan monografiyalar va darsliklar, 261, Marsel Dekker, ISBN 978-0-8247-5033-6, JANOB 2015465
Goodearl, K. R. (1976), Ring nazariyasi, Marsel Dekker, ISBN 978-0-8247-6354-1, JANOB 0429962
Grey, Meri V. (1970), Algebra uchun radikal yondashuv, Addison-Uesli, JANOB 0265396
Kote, Gotfrid (1930), "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist", Mathematische Zeitschrift, 32 (1): 161–186, doi:10.1007 / BF01194626
Stenstrem, Bo (1971), Takliflarning uzuklari va modullari, Matematikadan ma'ruza matnlari, 237, Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0059904, ISBN 978-3-540-05690-4, JANOB 0325663, Zbl 0229.16003
Vigandt, Richard (1974), Uzuklarning radikal va semisimple sinflari, Kingston, Ont: Qirolicha universiteti, JANOB 0349734