Reeb shar teoremasi - Reeb sphere theorem

Yilda matematika, Reeb shar teoremasinomi bilan nomlangan Jorj Rib, deb ta'kidlaydi

Yopiq yo'naltirilgan ulangan manifold M ⁿ tan olgan a yakka barglar faqat markazlarga ega bo'lish gomeomorfik uchun soha Sⁿ va yaproqlanish aniq ikkita o'ziga xos xususiyatga ega.

Mors barglari

Yaproq barglarining o'ziga xosligi F ning Morse turi agar uning kichik mahallasida barglarning barcha barglari bo'lsa daraja to'plamlari a Morse funktsiyasi, o'ziga xoslik bo'lish a tanqidiy nuqta funktsiyasi. Yakkalik - a markaz agar u bo'lsa mahalliy ekstremum funktsiya; aks holda, o'ziga xoslik a egar.

Markazlar soni v va egarlarning soni ${ displaystyle s}$, xususan ${ displaystyle c-s}$, ko'p qirrali topologiya bilan chambarchas bog'liq.

Biz belgilaymiz ${ displaystyle operator nomi {ind} p = min (k, n-k)}$, indeks singularity ${ displaystyle p}$, qayerda k Morse funktsiyasining mos keladigan kritik nuqtasining ko'rsatkichidir. Xususan, markazda 0 ko'rsatkichi bor, egarning ko'rsatkichi kamida 1 ga teng.

A Mors barglari F kollektorda M a yakka ko'ndalang yo'naltirilgan kod o'lchovi, sinfning bitta yaprog'i ${ displaystyle C ^ {2}}$ quyidagi alohida xususiyatlar bilan:

• ning har bir o'ziga xosligi F Mors tipidagi,
• har biri yagona barg L o'ziga xos o'ziga xoslikni o'z ichiga oladip; qo'shimcha ravishda, agar ${ displaystyle operatorname {ind} p = 1}$ keyin ${ displaystyle L setminus p}$ ulanmagan.

Reeb shar teoremasi

Bu shunday ${ displaystyle c> s = 0}$, egarsiz ish.

Teorema:^[1] Ruxsat bering ${ displaystyle M ^ {n}}$ o'lchovning yopiq yo'naltirilgan bog'langan manifoldu bo'lishi ${ displaystyle n geq 2}$. Buni taxmin qiling ${ displaystyle M ^ {n}}$ tan oladi a ${ displaystyle C ^ {1}}$- ko'ndalang yo'naltirilgan bitta yaproqlama kodimensiyasi ${ displaystyle F}$ bo'shliq bo'lmagan birliklar to'plami bilan ularning barchasi markazga aylanadi. Keyin birlik to'plami ${ displaystyle F}$ ikkita nuqtadan va ${ displaystyle M ^ {n}}$ shar uchun gomomorfdir ${ displaystyle S ^ {n}}$.

Bu .ning natijasidir Reeb barqarorligi teoremasi.

Umumlashtirish

Keyinchalik umumiy holat ${ displaystyle c> s geq 0.}$

1978 yilda Edouar Vagner Rib shar teoremasini Morse barglariga egar bilan umumlashtirdi. U ko'rsatdiki, markazlar soni egarlar bilan taqqoslaganda juda ko'p bo'lishi mumkin emas, ayniqsa ${ displaystyle c leq s + 2}$. Shunday qilib, qachon ikkita aniq holat bor ${ displaystyle c> s}$:

(1) ${ displaystyle c = s + 2,}$

(2) ${ displaystyle c = s + 1.}$

U (1) ni qoniqtiradigan birliklar bilan yaproqni tan oladigan manifold tavsifini oldi.

Teorema:^[2] Ruxsat bering ${ displaystyle M ^ {n}}$ Mors bargini tan oladigan ixcham bog'langan manifold bo'ling ${ displaystyle F}$ bilan ${ displaystyle c}$ markazlari va ${ displaystyle s}$ egarlar. Keyin ${ displaystyle c leq s + 2}$. Bo'lgan holatda ${ displaystyle c = s + 2}$,

• ${ displaystyle M}$ ga homomorfikdir ${ displaystyle S ^ {n}}$,
• barcha egarlarning ko'rsatkichi bor 1,
• har bir oddiy barg diffeomorfikdir ${ displaystyle S ^ {n-1}}$.

Nihoyat, 2008 yilda Sezar Kamacho va Bruno Scardua bu ishni ko'rib chiqdilar (2), ${ displaystyle c = s + 1}$. Bu kam miqdordagi past o'lchamlarda mumkin.

Teorema:^[3] Ruxsat bering ${ displaystyle M ^ {n}}$ ixcham bog'langan manifold bo'lishi va ${ displaystyle F}$ mors barglari ${ displaystyle M}$. Agar ${ displaystyle s = c + 1}$, keyin

• ${ displaystyle n = 2,4,8}$ yoki ${ displaystyle 16}$,
• ${ displaystyle M ^ {n}}$ bu Eells - Kuiper kollektori.

Adabiyotlar