O'rtacha kvadratik og'ishlar - Squared deviations from the mean

Bu maqola mavzu bo'yicha mutaxassisning e'tiboriga muhtoj. Iltimos, sabab yoki a gapirish muammoni maqola bilan tushuntirish uchun ushbu shablonga parametr. Ushbu yorliqni joylashtirishda e'tiborga oling ushbu so'rovni birlashtirish bilan WikiProject. (Oktyabr 2019)

Ushbu maqola bo'lishi tavsiya etilgan birlashtirildi ichiga O'rtacha kvadratik og'ish. (Muhokama qiling ) 2020 yil oktyabridan beri taklif qilingan.

O'rtacha kvadratik og'ishlar (SDM) turli xil hisob-kitoblarda qatnashadilar. Yilda ehtimollik nazariyasi va statistika, ning ta'rifi dispersiya ham kutilayotgan qiymat SDM ning (nazariy masalani ko'rib chiqishda tarqatish ) yoki uning o'rtacha qiymati (haqiqiy eksperimental ma'lumotlar uchun). Hisoblashlar dispersiyani tahlil qilish SDM summasini bo'linishni o'z ichiga oladi.

Kirish

Hisob-kitoblarni tushunish statistik qiymatni o'rganish orqali ancha yaxshilanadi

${displaystyle operator nomi {E} (X ^ {2})}$, qayerda ${displaystyle operator nomi {E}}$ kutilayotgan qiymat operatori.

Uchun tasodifiy o'zgaruvchi ${displaystyle X}$ o'rtacha bilan ${displaystyle mu}$ va dispersiya ${displaystyle sigma ^ {2}}$,

${displaystyle sigma ^ {2} = operator nomi {E} (X ^ {2}) - mu ^ {2}.}$^[1]

Shuning uchun,

${displaystyle operator nomi {E} (X ^ {2}) = sigma ^ {2} + mu ^ {2}.}$

Yuqoridagilardan quyidagilar kelib chiqishi mumkin:

${displaystyle operatorname {E} left (chap sum (X ^ {2} ight) ight) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2},}$

${displaystyle operator nomi {E} chap (chap (Xight yig'indisi) ^ {2} ight) = nsigma ^ {2} + n ^ {2} mu ^ {2}.}$

Namuna dispersiyasi

Hisoblash uchun zarur bo'lgan kvadratik og'ishlar yig'indisi namunaviy farq (bo'linish to'g'risida qaror qabul qilishdan oldin n yoki n - 1) eng oson deb hisoblanadi

${displaystyle S = sum x ^ {2} - {frac {left (sum xight) ^ {2}} {n}}}$

Ushbu yig'indining kutilgan qiymatidan yuqori bo'lgan ikkita taxminlardan

${displaystyle operator nomi {E} (S) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2} - {frac {nsigma ^ {2} + n ^ {2} mu ^ {2}} {n}}}$

shuni anglatadiki

${displaystyle operator nomi {E} (S) = (n-1) sigma ^ {2}.}$

Bu bo'linuvchidan foydalanishni samarali isbotlaydi n - 1 ni hisoblashda xolis namunaviy smetaσ².

Bo'lim - dispersiyani tahlil qilish

Ma'lumotlar mavjud bo'lgan vaziyatda k o'lchamiga ega bo'lgan turli xil davolash guruhlari n_men qayerda men 1dan farq qiladi k, keyin har bir guruhning kutilgan o'rtacha qiymati deb taxmin qilinadi

${displaystyle operator nomi {E} (mu _ {i}) = mu + T_ {i}}$

va har bir davolash guruhining dispersiyasi populyatsiya dispersiyasidan o'zgarmasdir ${displaystyle sigma ^ {2}}$.

Nol gipotezasi bo'yicha, muolajalar samarasiz, keyin har biri ${displaystyle T_ {i}}$ nol bo'ladi.

Endi uchta yig'indini hisoblash mumkin:

Shaxsiy

${displaystyle I = sum x ^ {2}}$

${displaystyle operator nomi {E} (I) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2}}$

Muolajalar

${displaystyle T = sum _ {i = 1} ^ {k} chap (chap (xight sum) ^ {2} / n_ {i} ight)}$

${displaystyle operator nomi {E} (T) = ksigma ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (mu + T_ {i}) ^ {2}}$

${displaystyle operator nomi {E} (T) = ksigma ^ {2} + nmu ^ {2} + 2mu sum _ {i = 1} ^ {k} (n_ {i} T_ {i}) + sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (T_ {i}) ^ {2}}$

Nol gipotezaga ko'ra, muolajalar hech qanday farqni keltirib chiqarmaydi ${displaystyle T_ {i}}$ nolga teng, kutish soddalashtiriladi

${displaystyle operator nomi {E} (T) = ksigma ^ {2} + nmu ^ {2}.}$

Kombinatsiya

${displaystyle C = chap (xight sum) ^ {2} / n}$

${displaystyle operator nomi {E} (C) = sigma ^ {2} + nmu ^ {2}}$

Kvadratik og'ishlarning yig'indisi

Nol gipoteza bo'yicha har qanday juftlikning farqi Men, Tva C ga bog'liqlikni o'z ichiga olmaydi ${displaystyle mu}$, faqat ${displaystyle sigma ^ {2}}$.

${displaystyle operator nomi {E} (I-C) = (n-1) sigma ^ {2}}$ umumiy kvadratik og'ishlar aka kvadratlarning umumiy yig'indisi

${displaystyle operator nomi {E} (T-C) = (k-1) sigma ^ {2}}$ davolash kvadratik og'ishlar aka kvadratlarning yig'indisi tushuntirildi

${displaystyle operator nomi {E} (I-T) = (n-k) sigma ^ {2}}$ qoldiq kvadratik og'ishlar aka kvadratlarning qoldiq yig'indisi

Doimiy (n − 1), (k - 1) va (n − k) odatda soni deb nomlanadi erkinlik darajasi.

Misol

Juda oddiy misolda ikkita muolajadan 5 ta kuzatuv kelib chiqadi. Birinchi muolajada 1, 2 va 3 uchta qiymat beriladi, ikkinchisida esa 4 va 6 ikkita qiymatlar beriladi.

${displaystyle I = {frac {1 ^ {2}} {1}} + {frac {2 ^ {2}} {1}} + {frac {3 ^ {2}} {1}} + {frac {4 ^ {2}} {1}} + {frac {6 ^ {2}} {1}} = 66}$

${displaystyle T = {frac {(1 + 2 + 3) ^ {2}} {3}} + {frac {(4 + 6) ^ {2}} {2}} = 12 + 50 = 62}$

${displaystyle C = {frac {(1 + 2 + 3 + 4 + 6) ^ {2}} {5}} = 256/5 = 51.2}$

Berib

Umumiy kvadratik og'ishlar = 66 - 51,2 = 14,8 erkinlik darajasi bilan 14,8.

Davolashning kvadratik burilishlari = 62 - 51,2 = 10,8, 1 daraja erkinlik bilan.

Qoldiq kvadratik og'ishlar = 66 - 62 = 4, 3 daraja erkinlik bilan.

Dispersiyani ikki tomonlama tahlil qilish

Quyidagi gipotetik misolda atrof-muhitning ikki xil o'zgarishiga va uch xil o'g'itlarga duchor bo'lgan 15 o'simlikning hosildorligi keltirilgan.

Kvadratlarning beshta yig'indisi hisoblanadi:

Faktor	Hisoblash	Jami	${displaystyle sigma ^ {2}}$
Shaxsiy	${displaystyle 7 ^ {2} + 2 ^ {2} + 1 ^ {2} + 7 ^ {2} + 6 ^ {2} + 11 ^ {2} + 6 ^ {2} + 10 ^ {2} + 7 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 11 ^ {2} + 4 ^ {2}}$	641	15
O'g'it × Atrof muhit	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1) ^ {2}} {3}} + {frac {(7 + 6) ^ {2}} {2}} + {frac {(11 + 6) ^ { 2}} {2}} + {frac {(10 + 7 + 3) ^ {2}} {3}} + {frac {(5 + 3 + 4) ^ {2}} {3}} + {frac {(11 + 4) ^ {2}} {2}}}$	556.1667	6
O'g'it	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 7 + 6) ^ {2}} {5}} + {frac {(11 + 6 + 10 + 7 + 3) ^ {2}} {5}} + {frac {(5 + 3 + 4 + 11 + 4) ^ {2}} {5}}}$	525.4	3
Atrof muhit	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4) ^ {2}} {8}} + {frac {(7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {7}}}$	519.2679	2
Kompozit	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4 + 7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {15}}}$	504.6	1

Va nihoyat, uchun zarur bo'lgan kvadratik og'ishlarning yig'indisi dispersiyani tahlil qilish hisoblash mumkin.

Faktor	Jami	${displaystyle sigma ^ {2}}$	Jami	Atrof muhit	O'g'it	O'g'it × Atrof muhit	Qoldiq
Shaxsiy	641	15	1				1
O'g'it × Atrof muhit	556.1667	6				1	−1
O'g'it	525.4	3			1	−1
Atrof muhit	519.2679	2		1		−1
Kompozit	504.6	1	−1	−1	−1	1
Kvadratik og'ishlar			136.4	14.668	20.8	16.099	84.833
Erkinlik darajasi			14	1	2	2	9

Shuningdek qarang

• Mutlaq og'ish
• Dispersiyani hisoblash algoritmlari
• Xatolar va qoldiqlar
• Eng kam kvadratchalar
• O'rtacha kvadratik xato
• Kvadratlarning qoldiq yig'indisi
• Variantlarning parchalanishi

Adabiyotlar