Stolz-Sesaro teoremasi - Stolz–Cesàro theorem - Wikipedia

Yilda matematika, Stolz-Sesaro teoremasi isbotlash mezonidir ketma-ketlikning yaqinlashuvi. Teorema nomlangan matematiklar Otto Stolz va Ernesto Sesaro, kim buni birinchi marta aytgan va isbotlagan.

Stolz-Sezaro teoremasini .ning umumlashtirilishi deb qarash mumkin Sezaro degani, shuningdek L'Hopitalning qoidasi ketma-ketliklar uchun.

Teoremasining bayoni ∙/∞ ish

Ruxsat bering ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ va ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ ikki bo'ling ketma-ketliklar ning haqiqiy raqamlar. Buni taxmin qiling ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ a qat'iy monoton va turli xil ketma-ketlik (ya'ni qat'iy ravishda ko'paymoqda va yaqinlashmoqda ${ displaystyle + infty}$, yoki qat'iy ravishda kamayadi va yaqinlashmoqda ${ displaystyle - infty}$) va quyidagilar chegara mavjud:

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l. }$

Keyin, chegara

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l. }$

Teoremasining bayoni 0/0 ish

Ruxsat bering ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ va ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ ikki bo'ling ketma-ketliklar ning haqiqiy raqamlar. Endi shunday deb taxmin qiling ${ displaystyle (a_ {n}) dan 0} gacha$ va ${ displaystyle (b_ {n}) dan 0} gacha$ esa ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ bu qat'iy monoton. Agar

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l, }$

keyin

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l. }$^[1]

Isbot

Teoremasining isboti ${ displaystyle cdot / infty}$ ish

1-holat: taxmin qilaylik ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda ko'payib boradi va ajralib turadi ${ displaystyle + infty}$va ${ displaystyle l < infty}$. Gipotezaga ko'ra, bizda bu hamma uchun ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ mavjud ${ displaystyle nu> 0}$ shu kabi ${ displaystyle forall n> nu}$

${ displaystyle left | , { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} - l , right | <{ frac { epsilon} {2}},}$

aytmoqchi bo'lgan narsa

${ displaystyle l- epsilon / 2 <{ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} nu.}$

Beri ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda o'sib bormoqda, ${ displaystyle b_ {n + 1} -b_ {n}> 0}$va quyidagilar mavjud

${ displaystyle (l- epsilon / 2) (b_ {n + 1} -b_ {n}) nu}$.

Keyin biz buni sezamiz

${ displaystyle a_ {n} = [(a_ {n} -a_ {n-1}) + nuqta + (a _ { nu +2} -a _ { nu +1})] + a _ { nu + 1}}$

Shunday qilib, yuqoridagi tengsizlikni to'rtburchak qavsdagi har bir atamaga qo'llash orqali biz qo'lga kiritamiz

${ displaystyle { begin {aligned} & (l- epsilon / 2) (b_ {n} -b _ { nu +1}) + a _ { nu +1} = (l- epsilon / 2) [ (b_ {n} -b_ {n-1}) + nuqta + (b _ { nu +2} -b _ { nu +1})] + a _ { nu +1}$

Endi, beri ${ displaystyle b_ {n} dan + infty}$ kabi ${ displaystyle n to infty}$, bor ${ displaystyle n_ {0}> 0}$ shu kabi ${ displaystyle b_ {n} gneq 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle n> n_ {0}}$, va ikkala tengsizlikni ikkiga bo'lishimiz mumkin ${ displaystyle b_ {n}}$ Barcha uchun ${ displaystyle n> max { nu, n_ {0} }}$

${ displaystyle (l- epsilon / 2) + { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l- epsilon / 2)} {b_ {n}}} <{ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} <(l + epsilon / 2) + { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l + epsilon / 2)} {b_ {n}}}.}$

Ikkala ketma-ketlik (ular faqat belgilangan ${ displaystyle n> n_ {0}}$ bo'lishi mumkin ${ displaystyle N leq n_ {0}}$ shu kabi ${ displaystyle b_ {N} = 0}$)

${ displaystyle c_ {n} ^ { pm}: = { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l pm epsilon / 2)} {b_ {n}}} }$

beri cheksizdir ${ displaystyle b_ {n} dan + infty}$ numerator esa doimiy son, demak hamma uchun ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ bor ${ displaystyle n _ { pm}> n_ {0}> 0}$, shu kabi

${ displaystyle { begin {aligned} & | c_ {n} ^ {+} | < epsilon / 2, quad forall n> n _ {+}, & | c_ {n} ^ {-} | < epsilon / 2, quad forall n> n _ {-}, end {hizalangan}}}$

shuning uchun

${ displaystyle l- epsilon max lbrace nu, n _ { pm} rbrace =: N> 0,}$

bu dalilni yakunlaydi. Ish bilan ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda kamayib boradi va ajralib turadi ${ displaystyle - infty}$va ${ displaystyle l < infty}$ o'xshash.

2-holat: biz taxmin qilamiz ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda ko'payib boradi va ajralib turadi ${ displaystyle + infty}$va ${ displaystyle l = + infty}$. Hammasi uchun avvalgidek davom eting ${ displaystyle { frac {3} {2}} M> 0}$ mavjud ${ displaystyle nu> 0}$ hamma uchun shunday ${ displaystyle n> nu}$

${ displaystyle { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M.}$

Shunga qaramay, yuqoridagi tengsizlikni biz olgan kvadrat qavs ichidagi har bir atamaga qo'llash orqali

${ displaystyle a_ {n}> { frac {3} {2}} M (b_ {n} -b _ { nu +1}) + a _ { nu +1}, quad forall n> nu ,}$

va

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + { frac {a _ { nu +1} - { frac {3} { 2}} Mb _ { nu +1}} {b_ {n}}}, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}$

Ketma-ketlik ${ displaystyle (c_ {n}) _ {n> n_ {0}}}$ tomonidan belgilanadi

${ displaystyle c_ {n}: = { frac {a _ { nu +1} - { frac {3} {2}} Mb _ { nu +1}} {b_ {n}}}}$

cheksiz, shuning uchun

${ displaystyle forall M / 2> 0 , mavjud { bar {n}}> n_ {0}> 0 { text {shunday}} - M / 2 { bar {n}},}$

ushbu tengsizlikni oldingi bilan birlashtirib xulosa qilamiz

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + c_ {n}> M, quad forall n> max { nu, { bar {n}} } =: N.}$

Bilan boshqa ishlarning dalillari ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda ko'payib yoki kamayib, yaqinlashmoqda ${ displaystyle + infty}$ yoki ${ displaystyle - infty}$ navbati bilan va ${ displaystyle l = pm infty}$ barchasi shu tarzda davom eting.

Teoremasining isboti ${ displaystyle 0/0}$ ish

1-holat: biz avval ishni ko'rib chiqamiz ${ displaystyle l < infty}$ va ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda ko'paymoqda. Bu safar har biri uchun ${ displaystyle m> 0}$, biz yozishimiz mumkin

${ displaystyle a_ {n} = (a_ {n} -a_ {n-1}) + nuqtalar + (a_ {m + nu +1} -a_ {m + nu}) + a_ {m + nu}, }$

va

${ displaystyle { begin {aligned} & (l- epsilon / 2) (b_ {n} -b _ { nu + m}) + a _ { nu + m} = (l- epsilon / 2) [ (b_ {n} -b_ {n-1}) + nuqta + (b _ { nu + m + 1} -b _ { nu + m})] + a _ { nu + m}$

Ikki ketma-ketlik

${ displaystyle c_ {m} ^ { pm}: = { frac {a _ { nu + m} -b _ { nu + m} (l pm epsilon / 2)} {b_ {n}}} }$

gipotez tufayli cheksizdir ${ displaystyle a_ {m}, b_ {m} dan 0} gacha$, shunday qilib hamma uchun ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ lar bor ${ displaystyle n ^ { pm}> 0}$ shu kabi

${ displaystyle { begin {aligned} & | c_ {m} ^ {+} | < epsilon / 2, quad forall m> n _ {+}, & | c_ {m} ^ {-} | < epsilon / 2, quad forall m> n _ {-}, end {hizalanmış}}}$

Shunday qilib, tanlash ${ displaystyle m}$ tegishli ravishda (ya'ni, nisbatan cheklovni hisobga olgan holda) ${ displaystyle m}$) olamiz

${ displaystyle l- epsilon max { nu, n_ {0} },}$

bu dalilni yakunlaydi.

2-holat: biz taxmin qilamiz ${ displaystyle l = + infty}$ va ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda ko'paymoqda ${ displaystyle { frac {3} {2}} M> 0}$ mavjud ${ displaystyle nu> 0}$ hamma uchun shunday ${ displaystyle n> nu}$

${ displaystyle { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M.}$

Shuning uchun, har biri uchun ${ displaystyle m> 0}$

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + { frac {a _ { nu + m} - { frac {3} { 2}} Mb _ { nu + m}} {b_ {n}}}, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}$

Ketma-ketlik

${ displaystyle c_ {m}: = { frac {a _ { nu + m} - { frac {3} {2}} Mb _ { nu + m}} {b_ {n}}}}$

ga yaqinlashadi ${ displaystyle 0}$ (saqlash ${ displaystyle n}$ sobit), demak

${ displaystyle forall M / 2> 0 , mavjud { bar {n}}> 0 { text {shunday}} - M / 2 { bar {n}},}$

va, tanlash ${ displaystyle m}$ qulay, biz dalilni xulosa qilamiz

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + c_ {m}> M, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}$

Ilovalar va misollar

Teorema ${ displaystyle cdot / infty}$ holat chegaralarni hisoblashda foydali bo'lgan bir nechta sezilarli oqibatlarga olib keladi.

O'rtacha arifmetik

Ruxsat bering ${ displaystyle (x_ {n})}$ ga yaqinlashadigan haqiqiy sonlar ketma-ketligi bo'lsin ${ displaystyle l}$, aniqlang

${ displaystyle a_ {n}: = sum _ {m = 1} ^ {n} x_ {m} = x_ {1} + dots + x_ {n}, quad b_ {n}: = n}$

keyin ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy ravishda o'sib boradi va farqlanadi ${ displaystyle + infty}$. Biz hisoblaymiz

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n + 1} = lim _ {n to infty} x_ {n} = l}$

shuning uchun

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {x_ {1} + dots + x_ {n}} {n}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Har qanday ketma-ketlik berilgan ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n geq 1}}$ haqiqiy sonlarning soni, deylik

${ displaystyle lim _ {n to infty} x_ {n}}$

mavjud (cheklangan yoki cheksiz), keyin

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {x_ {1} + dots + x_ {n}} {n}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

O'rtacha geometrik

Ruxsat bering ${ displaystyle (x_ {n})}$ ga yaqinlashadigan musbat haqiqiy sonlar ketma-ketligi bo'lsin ${ displaystyle l}$ va aniqlang

${ displaystyle a_ {n}: = log (x_ {1} cdots x_ {n}), quad b_ {n}: = n,}$

yana biz hisoblaymiz

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = lim _ {n to infty} log { Big (} { frac {x_ {1} cdots x_ {n + 1}} {x_ {1} cdots x_ {n}}} { Big)} = lim _ {n to infty} log (x_ {n + 1}) = lim _ {n to infty} log (x_ {n}) = log (l),}$

bu erda biz haqiqatdan foydalanganmiz logaritma uzluksiz. Shunday qilib

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (x_ {1} cdots x_ {n})} {n}} = lim _ {n to infty} log { Big (} (x_ {1} cdots x_ {n}) ^ { frac {1} {n}} { Big)} = log (l),}$

logaritma ham uzluksiz, ham in'ektsion bo'lgani uchun biz shunday xulosaga kelishimiz mumkin

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} cdots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n}}$.

Har qanday ketma-ketlik berilgan ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n geq 1}}$ (aniq) ijobiy haqiqiy sonlar, deylik

${ displaystyle lim _ {n to infty} x_ {n}}$

mavjud (cheklangan yoki cheksiz), keyin

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} cdots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Aytaylik, bizga ketma-ketlik berilgan ${ displaystyle (y_ {n}) _ {n geq 1}}$ va bizdan hisob-kitob qilish so'raladi

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}},}$

belgilaydigan ${ displaystyle y_ {0} = 1}$ va ${ displaystyle x_ {n} = y_ {n} / y_ {n-1}}$ biz olamiz

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} dots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} { sqrt [{ n}] { frac {y_ {1} dots y_ {n}} {y_ {0} cdot y_ {1} dots y_ {n-1}}}} = lim _ {n to infty } { sqrt [{n}] {y_ {n}}},}$

agar yuqorida ko'rsatilgan mulkni qo'llasak

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n} = lim _ {n to infty} { frac {y_ {n}} {y_ {n-1}}}.}$

Ushbu so'nggi shakl odatda chegaralarni hisoblash uchun eng foydali hisoblanadi

Har qanday ketma-ketlik berilgan ${ displaystyle (y_ {n}) _ {n geq 1}}$ (aniq) ijobiy haqiqiy sonlar, deylik

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {y_ {n + 1}} {y_ {n}}}}$

mavjud (cheklangan yoki cheksiz), keyin

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}} = lim _ {n to infty} { frac {y_ {n + 1}} {y_ {n}}}.}$

Misollar

1-misol

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {n}} = lim _ {n to infty} { frac {n + 1} {n}} = 1 .}$

2-misol

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {n to infty} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} & = lim _ {n to infty } { frac {(n + 1)! (n ^ {n})} {n! (n + 1) ^ {n + 1}}} & = lim _ {n to infty} { frac {n ^ {n}} {(n + 1) ^ {n}}} = lim _ {n to infty} { frac {1} {(1 + { frac {1} {n }}) ^ {n}}} = { frac {1} {e}}. end {aligned}}}$

ning vakolatxonasidan foydalandik ${ displaystyle e}$ ketma-ketlikning chegarasi sifatida oxirgi bosqichda.

3-misol

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (n!)} {n log (n)}} = lim _ {n to infty} { frac { log ({ sqrt [{n}] {n!}})} { log (n)}},}$

e'tibor bering

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {n!}} = lim _ {n to infty} { frac {(n + 1)!} {n !}} = lim _ {n to infty} (n + 1)}$

shuning uchun

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (n!)} {n log (n)}} = = lim _ {n to infty} { frac { log (n + 1)} { log (n)}} = 1.}$

4-misol

Ketma-ketlikni ko'rib chiqing

${ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n} { frac {n!} {n ^ {n}}}}$

buni shunday yozish mumkin

${ displaystyle a_ {n} = b_ {n} cdot c_ {n}, quad b_ {n}: = (- 1) ^ {n}, c_ {n}: = { Big (} { frac) { sqrt [{n}] {n!}} {n}} { Katta)} ^ {n},}$

ketma-ketlik ${ displaystyle (b_ {n})}$ chegaralangan (va tebranuvchi), esa

${ displaystyle lim _ {n to infty} { Big (} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} { Big)} ^ {n} = lim _ {n to infty} (1 / e) ^ {n} = 0,}$

tomonidan taniqli chegara, chunki ${ displaystyle 1 / e <1}$; shuning uchun

${ displaystyle lim _ {n to infty} (- 1) ^ {n} { frac {n!} {n ^ {n}}} = 0.}$

Tarix

∞ / ∞ holati Stoltsning 1885 yildagi kitobining 173—175 sahifalarida va Sezaroning 1888 yildagi maqolasining 54 betida bayon qilingan va isbotlangan.

Polya va Szegoda (1925) 70-muammo sifatida paydo bo'ldi.

Umumiy shakl

Bayonot

Stolz-Sesaro teoremasining umumiy shakli quyidagicha:^[2] Agar ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ va ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ ikkita ketma-ketlik mavjud ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ monoton va chegarasiz, keyin:

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}.}$

Isbot

Avvalgi gapni isbotlash o'rniga, biz boshqacha gapni isbotlaymiz; avval biz yozuvni joriy qilamiz: ruxsat bering ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ har qanday ketma-ketlik, uning bo'lishi qisman summa bilan belgilanadi ${ displaystyle A_ {n}: = sum _ {m geq 1} ^ {n} a_ {m}}$. Biz isbotlashimiz kerak bo'lgan ekvivalent bayonot:

Ruxsat bering ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}, (b_ {n}) _ { geq 1}}$ ning har qanday ikkita ketma-ketligi bo'lishi mumkin haqiqiy raqamlar shu kabi

• ${ displaystyle b_ {n}> 0, quad forall n in { mathbb {Z}} _ {> 0}}$,
• ${ displaystyle lim _ {n to infty} B_ {n} = + infty}$,

keyin

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}.}$

Ekvivalent bayonotning isboti

Avvaliga biz quyidagilarni payqaymiz:

• ${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ ta'rifi bilan ushlab turiladi chegara ustun va chegara past;
• ${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ agar va faqat agar ushlab tursa ${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ chunki ${ displaystyle liminf _ {n to infty} x_ {n} = - limsup _ {n to infty} (- x_ {n})}$ har qanday ketma-ketlik uchun ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n geq 1}}$.

Shuning uchun biz faqat buni ko'rsatishimiz kerak ${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$. Agar ${ displaystyle L: = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = + infty}$ isbotlaydigan narsa yo'q, demak biz taxmin qilishimiz mumkin ${ displaystyle L <+ infty}$ (u cheklangan yoki bo'lishi mumkin ${ displaystyle - infty}$). Ta'rifi bo'yicha ${ displaystyle limsup}$, Barcha uchun ${ displaystyle l> L}$ tabiiy raqam mavjud ${ displaystyle nu> 0}$ shu kabi

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} nu.}$

Yozish uchun biz ushbu tengsizlikdan foydalanishimiz mumkin

${ displaystyle A_ {n} = A _ { nu} + a _ { nu +1} + nuqtalar + a_ {n} nu,}$

Chunki ${ displaystyle b_ {n}> 0}$, bizda ham bor ${ displaystyle B_ {n}> 0}$ va biz ajratishimiz mumkin ${ displaystyle B_ {n}}$ olish uchun; olmoq

${ displaystyle { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} <{ frac {A _ { nu} -lB _ { nu}} {B_ {n}}} + l, quad forall n> nu.}$

Beri ${ displaystyle B_ {n} dan + infty}$ kabi ${ displaystyle n dan + infty}$, ketma-ketlik

${ displaystyle { frac {A _ { nu} -lB _ { nu}} {B_ {n}}} to 0 { text {as}} n to + infty { text {(keeping}} nu { text {fix)}},}$

va biz olamiz

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq l, quad forall l> L,}$

Ta'rifi bo'yicha eng yuqori chegara, bu aniq shuni anglatadiki

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq L = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n }} {b_ {n}}},}$

va biz tugatdik.

Asl bayonotning isboti

Endi oling ${ displaystyle (a_ {n}), (b_ {n})}$ Stolz-Sesaro teoremasining umumiy shakli bayonida bo'lgani kabi va aniqlang

${ displaystyle alpha _ {1} = a_ {1}, alfa _ {k} = a_ {k} -a_ {k-1}, , forall k> 1 quad beta _ {1} = b_ {1}, beta _ {k} = b_ {k} -b_ {k-1} , forall k> 1}$

beri ${ displaystyle (b_ {n})}$ qat'iy monoton (biz, albatta, ortib borishini taxmin qilishimiz mumkin), ${ displaystyle beta _ {n}> 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle n}$ va beri ${ displaystyle b_ {n} dan + infty}$ shuningdek ${ displaystyle mathrm {B} _ {n} = b_ {1} + (b_ {2} -b_ {1}) + nuqta + (b_ {n} -b_ {n-1}) = b_ {n } dan + infty}$Shunday qilib, biz hozirgina isbotlagan teoremani qo'llashimiz mumkin ${ displaystyle ( alfa _ {n}), ( beta _ {n})}$ (va ularning qisman summalari ${ displaystyle ( mathrm {A} _ {n}), ( mathrm {B} _ {n})}$)

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = limsup _ {n to infty} { frac { mathrm {A} _ {n}} { mathrm {B} _ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac { alpha _ {n}} { beta _ {n}}} = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n} -a_ {n-1}} {b_ {n} -b_ {n-1}}},}$

biz aynan shu narsani isbotlamoqchi edik.

Adabiyotlar

• Muresan, Marian (2008), Klassik tahlilga aniq yondashuv, Berlin: Springer, 85–88-betlar, ISBN  978-0-387-78932-3.
• Stolz, Otto (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Leypsig: Teubnerlar, 173–175-betlar.
• Sezaro, Ernesto (1888), "Sur la convergence des séries", Nouvelles annales de mathématiques, 3-seriya, 7: 49–59.
• Polya, Jorj; Sege, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Men, Berlin: Springer.
• A. D. R. Choudari, Konstantin Nikulesku: Intervallar bo'yicha haqiqiy tahlil. Springer, 2014 yil, ISBN  9788132221487, pp. 59-62
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Katoiu: L'Hospital qoidasining maqbul va haqiqiy kengaytmalari. Matematika jurnali, jild. 85, № 1 (2012 yil fevral), 52-60 betlar (JSTOR )

Tashqi havolalar

• L'Hopital qoidasi va imomath.com saytidagi Stolz-Sezaro teoremasi
• Stolz-Sesaro teoremasining isboti da PlanetMath.

Izohlar

Ushbu maqola Stolz-Sezaro teoremasidan olingan materiallarni o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.