Uitni kengayish teoremasi - Whitney extension theorem

Yilda matematika, xususan matematik tahlil, Uitni kengayish teoremasi ga qisman teskari Teylor teoremasi. Taxminan aytganda, teorema, agar shunday bo'lsa A Evklid fazosining yopiq kichik to'plamidir, keyin berilgan funktsiyani kengaytirish mumkin A nuqtalarida lotinlarni tayinlagan tarzda A. Bu natijadir Xassler Uitni.

Bayonot

Teoremaning aniq bayoni yopiq to'plamda funktsiya hosilasini tayinlash nimani anglatishini sinchkovlik bilan ko'rib chiqishni talab qiladi. Masalan, bitta mushkullik shundaki, umuman Evklid makonining yopiq quyi to'plamlari farqlanadigan tuzilishga ega emas. Demak, boshlang'ich nuqta Teylor teoremasining bayonini o'rganishdir.

Haqiqiy qadrli berilgan C^m funktsiya f(x) ustida Rⁿ, Teylor teoremasi buni har biri uchun ta'kidlaydi a, x, y ∈ Rⁿ, funktsiya mavjud R_a(x,ykabi 0 ga yaqinlashmoqda x,y → a shu kabi

${displaystyle f ({mathbf {x}}) = sum _ {| alfa | leq m} {frac {D ^ {alfa} f ({mathbf {y}})} {alfa!}} cdot ({mathbf {x }} - {mathbf {y}}) ^ {alfa} + sum _ {| alfa | = m} R_ {alfa} ({mathbf {x}}, {mathbf {y}}) {frac {({mathbf {) x}} - {mathbf {y}}) ^ {alfa}} {alfa!}}}$

(1)

yig'indisi tugagan joyda ko'p indekslar  a.

Ruxsat bering f_a = D.^af har bir ko'p indeks uchun a. (1) ga nisbatan farqlash xva, ehtimol, almashtirish R kerak bo'lganda hosil beradi

${displaystyle f_ {alfa} ({mathbf {x}}) = sum _ {| eta | leq m- | alfa |} {frac {f_ {alfa + eta} ({mathbf {y}})} {eta!}} ({mathbf {x}} - {mathbf {y}}) ^ {eta } + R_ {alfa} ({mathbf {x}}, {mathbf {y}})}$

(2)

qayerda R_a bu o(|x − y|^m−|a|) bir xil tarzda x,y → a.

Yozib oling (2) funktsiyalar orasidagi aniq muvofiqlik sharti sifatida qaralishi mumkin f_a bu funktsiyalar funktsiya Teylor seriyasining koeffitsientlari bo'lishi uchun uni qondirish kerak f. Aynan shu tushuncha quyidagi bayonotga yordam beradi

Teorema. Aytaylik f_a yopiq ichki qismdagi funktsiyalar to'plamidir A ning Rⁿ barcha ko'p indekslar uchun a bilan ${displaystyle | alfa | leq m}$ moslik shartini qondirish (2) barcha nuqtalarda x, yva a ning A. Keyin funktsiya mavjud F(x) sinf C^m shu kabi:

1. F = f₀ kuni A.
2. D.^aF = f_a kuni A.
3. F har bir nuqtada haqiqiy-analitik hisoblanadi Rⁿ − A.

Dalillar asl qog'ozida keltirilgan Uitni (1934) va Malgrange (1967), Bierstone (1980) va Xörmander (1990).

Yarim bo'shliqda kengaytma

Sili (1964) Uitni kengayish teoremasining yarim bo'shliqning maxsus holatida keskinlashishini isbotladi. Yarim bo'shliqda silliq funktsiya R^n,+ ballar qaerda x_n ≥ 0 - bu yumshoq funktsiya f ichki qismda x_n buning uchun lotin ∂^a f yarim bo'shliqdagi doimiy funktsiyalarga qadar kengaytiring. Chegarada x_n = 0, f silliq ishlashni cheklaydi. By Borel lemmasi, f umuman silliq funktsiyaga qadar kengaytirilishi mumkin Rⁿ. Borel lemmasi tabiatan lokal bo'lganligi sababli, xuddi shu dalillar shuni ko'rsatadiki, agar $ Delta $ (cheklangan yoki cheklanmagan) domen bo'lsa Rⁿ chegara silliq bo'lsa, u holda Ω ning yopilishidagi har qanday silliq funktsiyani yumshoq funktsiyaga qadar kengaytirish mumkin Rⁿ.

Sining yarim chiziqdagi natijasi bir xil kengaytma xaritasini beradi

${displaystyle displaystyle {E: C ^ {infty} (mathbf {R} ^ {+}) qarata C ^ {infty} (mathbf {R}),}}$

bu chiziqli, uzluksiz (funktsiyalar va ularning hosilalari kompaktaga bir xil yaqinlashuvi topologiyasi uchun) va [0,R] funktsiyalari ichiga [-]R,R]

Belgilash uchun E, o'rnatilgan^[1]

${displaystyle displaystyle {E (f) (x) = sum _ {m = 1} ^ {infty} a_ {m} f (-b_ {m} x) varphi (-b_ {m} x) ,,, (x <0),}}$

bu erda φ - ixcham qo'llab-quvvatlashning yumshoq funktsiyasi R 0 ga yaqin va ketma-ketliklarga teng (a_m), (b_m) qondirish:

• b_m > 0 ∞ ga intiladi;
• ∑ a_m b_m^j = (−1)^j uchun j Absolutely 0 mutlaq yig'indisi bilan.

Ushbu tenglamalar tizimining echimini olish yo'li bilan olish mumkin b_n = 2ⁿ va izlash butun funktsiya

${displaystyle g (z) = sum _ {m = 1} ^ {infty} a_ {m} z ^ {m}}$

shu kabi g(2^j) = (−1)^j. Bunday funktsiya tuzilishi mumkinligi quyidagidan kelib chiqadi Vaystrasht teoremasi va Mittag-Leffler teoremasi.^[2]

Buni to'g'ridan-to'g'ri sozlash orqali ko'rish mumkin^[3]

${displaystyle W (z) = prod _ {jgeq 1} (1-z / 2 ^ {j}),}$

2 da oddiy nolga ega bo'lgan butun funktsiya^j. Hosilalari V '(2^j) yuqorida va pastda chegaralangan. Xuddi shunday funktsiya

${displaystyle M (z) = sum _ {jgeq 1} {(- 1) ^ {j} ustidan W ^ {prime} (2 ^ {j}) (z-2 ^ {j})}}$

oddiy qutblar va belgilangan qoldiqlar bilan meromorf^j.

Qurilish bo'yicha

${displaystyle displaystyle {g (z) = W (z) M (z)}}$

kerakli xususiyatlarga ega bo'lgan butun funktsiya.

Yarim bo'shliqning ta'rifi Rⁿ operatorni qo'llash orqali R oxirgi o'zgaruvchiga x_n. Xuddi shunday, silliq yordamida birlikning bo'linishi o'zgaruvchilarning mahalliy o'zgarishi, natijada yarim bo'shliqqa o'xshash kengaytirilgan xarita mavjudligini anglatadi

${displaystyle displaystyle {C ^ {infty} ({overline {Omega}}) ightarrow C ^ {infty} (mathbf {R} ^ {n})}}$

har qanday domen uchun Rⁿ silliq chegara bilan.

Shuningdek qarang

• The Kirszbraun teoremasi Lipschitz funktsiyalarining kengaytmalarini beradi.

Izohlar

Adabiyotlar

• McShane, Edvard Jeyms (1934), "Funktsiyalar doirasini kengaytirish", Buqa. Amer. Matematika. Soc., 40 (12): 837–842, doi:10.1090 / s0002-9904-1934-05978-0, JANOB  1562984, Zbl  0010.34606
• Uitni, Xassler (1934), "Yopiq to'plamlarda aniqlangan funktsiyalarning analitik kengaytmalari", Amerika Matematik Jamiyatining operatsiyalari, Amerika matematik jamiyati, 36 (1): 63–89, doi:10.2307/1989708, JSTOR  1989708
• Bierstone, Edvard (1980), "Differentsial funktsiyalar", Braziliya matematik jamiyati byulleteni, 11 (2): 139–189, doi:10.1007 / bf02584636
• Malgrange, Bernard (1967), Differentsial funktsiyalarning ideallari, Tata Matematika bo'yicha fundamental tadqiqotlar instituti, 3, Oksford universiteti matbuoti
• Seli, R. T. (1964), "Yarim bo'shliqda aniqlangan C∞ funktsiyalarining kengayishi", Proc. Amer. Matematika. Soc., 15: 625–626, doi:10.1090 / s0002-9939-1964-0165392-8
• Xormander, Lars (1990), Lineer qisman differentsial operatorlarning tahlili. I. Tarqatish nazariyasi va Furye tahlili, Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Chazarain, Jak; Piriou, Alain (1982), Chiziqli qisman differentsial tenglamalar nazariyasiga kirish, Matematikadan tadqiqotlar va uning qo'llanilishi, 14, Elsevier, ISBN  0444864520
• Ponnusami, S .; Silverman, o't (2006), Ilovalar bilan murakkab o'zgaruvchilar, Birxauzer, ISBN  0-8176-4457-1
• Fefferman, Charlz (2005), "Uitni kengayish teoremasining keskin shakli", Matematika yilnomalari, 161 (1): 509–577, doi:10.4007 / annals.2005.161.509, JANOB  2150391