Giperboloid - Hyperboloid

Bir varaqning giperboloidi	konusning yuzasi orasida	Ikki varaqning giperboloidi

Yilda geometriya, a inqilobning giperboloidi, ba'zan a dumaloq giperboloid, bo'ladi sirt aylantirish natijasida hosil bo'lgan a giperbola uning bittasi atrofida asosiy o'qlar. A giperboloid inqilob giperboloididan uni yo'naltiruvchi yordamida deformatsiya qilish yo'li bilan olingan sirt tarozi, yoki umuman olganda, an afinaning o'zgarishi.

Giperboloid - bu a to'rtburchak sirt, ya'ni a sirt deb belgilangan nol o'rnatilgan a polinom uchta o'zgaruvchida ikkitadan daraja. Kvadrikali yuzalar orasida giperboloid a bo'lmasligi bilan ajralib turadi konus yoki a silindr, ega bo'lgan simmetriya markazi va ko'plarni kesib o'tmoqda samolyotlar giperbolalarga aylanadi. Giperboloid uchta juftlikga ega perpendikulyar simmetriya o'qlari va uchta juftlik bilan perpendikulyar simmetriya tekisliklari.

Agar giperboloid berilgan bo'lsa, agar u a ni tanlasa Dekart koordinatalar tizimi uning o'qlari giperboloidning simmetriya o'qlari va kelib chiqishi giperboloidning simmetriya markazi bo'lsa, u holda giperboloid quyidagi ikkita tenglamadan biri bilan aniqlanishi mumkin:

{ displaystyle {x ^ {2} a ^ {2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} - {z ^ {2} over c ^ {2}} = 1, }

yoki

{ displaystyle {x ^ {2} a ^ {2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} - {z ^ {2} over c ^ {2}} = - 1 .}

Ikkala sirt ham asimptotik tenglamaning konusiga

{ displaystyle {x ^ {2} a ^ {2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} - {z ^ {2} over c ^ {2}} = 0. }

Sirt inqilobning giperboloididir va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}.}$ Aks holda, o'qlar aniq belgilangan (qadar almashinuvi x-aksis va y-axsis).

Ikki xil giperboloid mavjud. Birinchi holda ( $+1$ tenglamaning o'ng tomonida): a bir varaqli giperboloid, shuningdek, a deb nomlangan giperbolik giperboloid. Bu bog'langan sirt, bu salbiyga ega Gauss egriligi har bir nuqtada. Bu har bir nuqtaga yaqin giperboloid va uning kesishishini anglatadi teginuvchi tekislik nuqtada egri chiziqning ikkita shoxidan iborat bo'lib, ular nuqtada aniq teginishlarga ega. Bir varaqli giperboloid holatida bu egri chiziqlar chiziqlar va shu tariqa bitta varaqli giperboloid a ikki marta hukmronlik qildi sirt.

Ikkinchi holda ( $-1$ tenglamaning o'ng tomonida): a ikki varaqli giperboloid, shuningdek, elliptik giperboloid. Sirt ikkitadan ulangan komponentlar va har bir nuqtada ijobiy Gauss egriligi. Shunday qilib sirt qavariq teginuvchi tekislik har bir nuqtadagi sirtni faqat shu nuqtada kesib o'tishi ma'nosida.

Parametrik tasvirlar

Inqilob giperboloidining animatsiyasi

Ga o'xshash giperboloidlar uchun dekartiyant koordinatalarini aniqlash mumkin sferik koordinatalar, saqlash azimut burchak $θ \in [0, 2 π)$ , lekin o'zgaruvchan moyillik $v$ ichiga hiperbolik trigonometrik funktsiyalar:

Bir yuzali giperboloid: $v \in (-\infty, \infty)$

{ displaystyle { begin {aligned} x & = a cosh v cos theta y & = b cosh v sin theta z & = c sinh v end {hizalangan}}}

Ikki yuzali giperboloid: $v \in [0, \infty)$

{ displaystyle { begin {aligned} x & = a sinh v cos theta y & = b sinh v sin theta z & = pm c cosh v end {aligned}}}

bitta varaqning giperboloidi: aylanuvchi giperbola (yuqori) va chiziq (pastki: qizil yoki ko'k)

bitta varaqning giperboloidi: tekislik qismlari

Bir varaqning giperboloid xususiyatlari

Yuzaki chiziqlar

Bir varaqning giperboloidida ikkita qalam chiziq bor. Bu ikki marta boshqariladigan sirt.

Agar giperboloid tenglamaga ega bo'lsa ${ displaystyle {x ^ {2} a ^ {2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} - {z ^ {2} over c ^ {2}} = 1}$ keyin chiziqlar

{ displaystyle g _ { alpha} ^ { pm}: { vec {x}} (t) = { begin {pmatrix} a cos alpha b sin alpha 0 end {pmatrix }} + t cdot { begin {pmatrix} -a sin alpha b cos alpha pm c end {pmatrix}} , quad t in mathbb {R}, 0 leq alfa leq 2 pi }

yuzasida joylashgan.

Bo'lgan holatda ${ displaystyle a = b}$ giperboloid inqilob yuzasi bo'lib, ikkita chiziqdan birini aylantirish orqali hosil bo'lishi mumkin ${ displaystyle g_ {0} ^ {+}}$ yoki ${ displaystyle g_ {0} ^ {-}}$ , ular aylanish o'qiga qiyshiq (rasmga qarang). Ushbu xususiyat deyiladi Wren Teorema.^[1] Inqilobning bir varaqli giperboloidining ko'proq tarqalgan avlodi aylanmoqda giperbola uning atrofida yarim kichik o'q (rasmga qarang; giperbolani boshqa o'qi atrofida aylantirish ikki varaqli inqilob giperbolasini beradi).

Bitta varaqning giperboloidi bu proektiv ravishda a ga teng giperbolik paraboloid.

Samolyot bo'limlari

Oddiylik uchun. Ning tekislik qismlari birlik giperboloid tenglama bilan ${ displaystyle H_ {1}: x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 1}$ hisobga olinadi. Giperboloid umumiy holatdagi birlik giperboloidning afinaviy tasviri bo'lganligi sababli, natija umumiy holatga ham tegishli.

Nishab soni 1 dan kam bo'lgan tekislik (1 - giperboloiddagi chiziqlar qiyaligi) kesib o'tadi ${ displaystyle H_ {1}}$ ichida ellips,
Boshlanishini o'z ichiga olgan nishab 1 ga teng bo'lgan tekislik kesishadi ${ displaystyle H_ {1}}$ a parallel chiziqlar juftligi,
Nishabning boshini o'z ichiga olmagan 1 ga teng bo'lgan tekislik kesishadi ${ displaystyle H_ {1}}$ a parabola,
Tangensial tekislik kesishadi ${ displaystyle H_ {1}}$ a kesishgan chiziqlar juftligi,
Nishab 1 dan katta bo'lgan tangensial bo'lmagan tekislik kesishadi ${ displaystyle H_ {1}}$ a giperbola.^[2]

Shubhasiz, inqilobning har qanday bir varaqli giperboloidida doiralar mavjud. Bu umumiy holatlarda ham to'g'ri, ammo unchalik ravshan emas (qarang) dumaloq qism ).

Ikki varaqli giperboloidning xususiyatlari

ikki varaqning giperboloidi: giperbolani aylantirish orqali hosil qilish

ikki varaqning giperboloidi: tekislik kesimlari

Ikki varaqning giperboloidi shunday qiladi emas qatorlarni o'z ichiga oladi. Samolyot qismlarini muhokama qilish uchun amalga oshirilishi mumkin ikki varaqning birligi giperboloid tenglama bilan

{ displaystyle H_ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1}

.

aylantirib yaratilishi mumkin giperbola uning o'qlari atrofida (giperbolani kesuvchi)

Nishab 1 dan kam (1 - hosil qiluvchi giperbolaning asimptotalari qiyaligi) bo'lgan tekislik kesib o'tadi ${ displaystyle H_ {2}}$ yoki an ellips yoki a nuqta yoki umuman yo'q,
Nishabning kelib chiqishi (giperboloidning o'rta nuqtasi) o'z ichiga olgan 1 ga teng bo'lgan tekislik qiladi kesishmaydi ${ displaystyle H_ {2}}$ ,
Nishabning boshini o'z ichiga olmagan 1 ga teng bo'lgan tekislik kesishadi ${ displaystyle H_ {2}}$ a parabola,
Nishab 1dan kattaroq tekislik kesib o'tadi ${ displaystyle H_ {2}}$ a giperbola.^[3]

Shubhasiz, har qanday ikki varaqli inqilob giperboloidida doiralar mavjud. Bu umumiy holatlarda ham to'g'ri, ammo unchalik ravshan emas (qarang) dumaloq qism ).

Izoh: Ikki varaqning giperboloidi bu proektiv ravishda sharga teng.

Umumiy parametr parametrlari

Quyidagi parametrik tasvirga bitta varaqning, ikkita varaqning giperboloidlari va ularning umumiy chegara konuslari kiradi, ularning har biri ${ displaystyle z}$ - simmetriya o'qi sifatida eksa:

${ displaystyle { vec {x}} (s, t) = left ({ begin {array} {lll} a { sqrt {s ^ {2} + d}} cos t b { sqrt {s ^ {2} + d}} sin t cs end {array}} right)}$

Uchun ${ displaystyle d> 0}$ bitta varaqning giperboloidini oladi,
Uchun ${ displaystyle d <0}$ ikki varaqdan iborat giperboloid va
Uchun ${ displaystyle d = 0}$ er-xotin konus.

Joylashishini siljitish orqali simmetriya o'qi sifatida boshqa koordinata o'qi bo'lgan giperboloidning parametrik ko'rinishini olish mumkin. ${ displaystyle cs}$ yuqoridagi tenglamadagi tegishli komponentga termin.

Giperboloidning nosimmetrikliklari

Tenglamali giperboloidlar ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - { frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1, quad { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } - { frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = - 1 }$ bor

nosimmetrik kelib chiqishiga qadar,
koordinata tekisliklariga nosimmetrik va
aylanish nosimmetrik z o'qiga va z o'qini o'z ichiga olgan har qanday tekislikka nosimmetrik, agar bo'lsa ${ displaystyle a = b}$ (inqilobning giperboloidi).

Giperboloidning egriligi to'g'risida

Holbuki Gauss egriligi bitta varaq giperboloidining manfiy, ikki varaqli giperboloidning musbat. Ijobiy egriligiga qaramay, ikkita varaqning giperboloidini boshqa mos ravishda tanlangan metrik bilan ishlatish mumkin. model giperbolik geometriya uchun.

Umumlashtirilgan tenglamalar

Umuman olganda, o'zboshimchalik bilan yo'naltirilgan giperboloid, markazida $v$ , tenglama bilan aniqlanadi

{ displaystyle ( mathbf {x-v}) ^ { mathrm {T}} A ( mathbf {x-v}) = 1,}

qayerda $A$ a matritsa va $x$ , $v$ bor vektorlar.

The xususiy vektorlar ning $A$ giperboloid va ning asosiy yo'nalishlarini aniqlang o'zgacha qiymatlar ning A o'zaro yarim o'qlarning kvadratlari: ${ displaystyle {1 / a ^ {2}}}$ , ${ displaystyle {1 / b ^ {2}}}$ va ${ displaystyle {1 / c ^ {2}}}$ . Bir varaqli giperboloid ikkita ijobiy o'z qiymatiga va bitta salbiy o'ziga xos qiymatga ega. Ikki varaqli giperboloid bitta ijobiy va ikkita salbiy o'z qiymatiga ega.

Uchdan ortiq o'lchamlarda

Xayoliy giperboloidlar yuqori o'lchovli matematikada tez-tez uchraydi. Masalan, a psevdo-evklid fazosi bittasida a kvadratik shakl:

{ displaystyle q (x) = chap (x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {k} ^ {2} o'ng) - chap (x_ {k + 1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} o'ng), quad k

Qachon $v$ har qanday doimiy, keyin bo'shliqning tomonidan berilgan qismi

{ displaystyle lbrace x : q (x) = c rbrace}

deyiladi a giperboloid. Degeneratsiya holati mos keladi $v = 0$ .

Misol tariqasida quyidagi parchani ko'rib chiqing:^[4]

... tezlik vektorlari doimo Minkovski to'rt o'lchovli giperboloid deb ataydigan sirtda yotadi, chunki u faqat haqiqiy koordinatalarda ifodalangan.

(y 1, ..., y 4)

, uning tenglamasi

y 21 + y 22 + y 23 - y 24 = -1

, giperboloidga o'xshash

y 21 + y 22 - y 23 = -1

uch o'lchovli bo'shliq.^[6]

Biroq, muddat kvazisfera bu erda ham ishlatiladi, chunki shar va giperboloidning ba'zi umumiy jihatlari bor (Qarang § Sferaga aloqadorlik quyida).

Giperboloid tuzilmalar

Qurilishda bir varaqli giperboloidlar ishlatiladi, ularning tuzilmalari deyiladi giperboloid tuzilmalar. Giperboloid - bu a ikki marta boshqariladigan sirt; Shunday qilib, uni boshqa po'latdan yasalgan temir nurlar bilan qurish mumkin, bu esa boshqa usullarga qaraganda arzon narxlarda kuchli strukturani ishlab chiqaradi. Bunga misollar kiradi sovutish minoralari, ayniqsa elektr stantsiyalari va ko'plab boshqa tuzilmalar.

Bir varaqli giperboloid tuzilmalar galereyasi
The Adziogol dengiz chiroqi, Ukraina, 1911.
Kobe Port minorasi, Yaponiya, 1963.
Sent-Luis ilmiy markazi Jeyms S. McDonnell Planetarium, Sent-Luis, Missuri, 1963.
Nyukasl xalqaro aeroporti boshqaruv minorasi, Nyukasl apon Tayn, Angliya, 1967.
Ještěd Transmissiya minorasi, Chex Respublikasi, 1968.
Brasiliya sobori, Braziliya, 1970.
Giperboloid suv minorasi bilan toroidal tank, Ciechanów, Polsha, 1972.
Roy Tomson Xoll, Toronto, Kanada, 1982.
The THTR-300 sovutish minorasi hozirda ishdan chiqarilgan torium yadro reaktori yilda Hamm -Uentrop, Germaniya, 1983.
The Korporatsiya ko'chasi ko'prigi, "Manchester", Angliya, 1999.
The Killesberg kuzatuv minorasi, Shtutgart, Germaniya, 2001.
BMW Welt, (BMW World), muzey va tadbirlar o'tkaziladigan joy, Myunxen, Germaniya, 2007.
The Kanton minorasi, Xitoy, 2010.
The Essarts-le-Roi suv minorasi, Frantsiya.

Sferaga munosabat

1853 yilda Uilyam Rovan Xemilton uni nashr etdi Quaternions haqida ma'ruzalar taqdimotini o'z ichiga olgan biquaternionlar. 673-betning quyidagi qismida Hamilton biquaternion algebra va dan vektorlarini qanday ishlatishi ko'rsatilgan kvaternionlar a tenglamasidan giperboloidlarni hosil qilish soha:

... the birlik sferasining tenglamasi

r 2 + 1 = 0

va vektorni o'zgartiring

r

a bivektor shakli, kabi

σ + τ \sqrt -1

. Sfera tenglamasi ikkitasining tizimiga aylanadi,

σ 2 - τ 2 + 1 = 0

,

S . στ = 0

;

va ko'rib chiqishni taklif qiladi

σ

va

τ

ikkita haqiqiy va to'rtburchaklar vektor sifatida, shunday qilib

T τ = (T σ 2 - 1 ) 1/2

.

Demak, buni taxmin qilish oson

{ displaystyle parallel}

, qayerda

λ

berilgan pozitsiyadagi vektor, the yangi haqiqiy vektor

σ + τ

a yuzasida tugaydi ikki qatlamli va teng qirrali giperboloid; va agar boshqa tomondan, biz taxmin qilsak

{ displaystyle parallel}

, keyin haqiqiy vektorning ekstremal joyi

σ + τ

bo'ladi teng qirrali, ammo bitta varaqli giperboloid. Shu sababli, ushbu ikkita giperboloidni o'rganish, biquaternionlar orqali, sferani o'rganish bilan juda sodda tarzda bog'lanadi; ...

Ushbu parchada $S$ kvaternionning skaler qismini beradigan operator va $T$ hozirda "tensor" dir norma, kvaternionning

Sfera va giperboloidni birlashtirishning zamonaviy ko'rinishi a g'oyasidan foydalanadi konus bo'limi kabi kvadrat shakldagi tilim. A o'rniga konusning yuzasi, biri konusni talab qiladi yuqori yuzalar yilda to'rt o'lchovli bo'shliq ochko bilan $p = (w, x, y, z) \in R 4$ tomonidan belgilanadi kvadratik shakllar. Avval konusning yuqori yuzasini ko'rib chiqing

{ displaystyle P = lbrace p : w ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} rbrace}

va

{ displaystyle H_ {r} = lbrace p : w = r rbrace,}

bu giperplane.

Keyin ${ displaystyle P cap H_ {r}}$ radiusli shar $r$ . Boshqa tomondan, konusning yuqori yuzasi

{ displaystyle Q = lbrace p : w ^ {2} + z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} rbrace}

buni ta'minlaydi

{ displaystyle Q cap H_ {r}}

giperboloiddir.

Nazariyasida kvadratik shakllar, a birlik kvazisfera kvadratik bo'shliqning pastki qismidir $X$ dan iborat $x \in X$ shundayki, ning kvadratik normasi $x$ bitta.^[7]

Shuningdek qarang

Media-ni ijro etish

Shuxov giperboloid minorasi (1898) yilda Vyksa, Rossiya

Adabiyotlar

^ K. Strubekker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoek va Ruprext, Göttingen 1967, p. 218
^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122
^ Tomas Xokkins (2000) Yolg'on guruhlari nazariyasining paydo bo'lishi: 1869—1926 yillarda matematika tarixidagi insho, §9.3 "Göttingendagi fizikani matematikalash", 340-betga qarang, Springer ISBN 0-387-98963-3
^ Valter, Skott A. (1999), "Minkovskiy nisbiyligining evklid bo'lmagan uslubi", J. Greyda (tahrir), Ramziy olam: geometriya va fizika 1890-1930 yillar, Oksford universiteti matbuoti, 91–127 betlar
^ Minkovski "to'rt o'lchovli giperboloid" atamasini faqat o'limdan keyin nashr etilgan yozuv yozuvida ishlatgan va bu nostandart ishlatilgan, chunki Minkovskiyning giperboloidi to'rt o'lchovli Minkovskiy makonining uch o'lchovli pastki katmasi. ${ displaystyle M ^ {4}.}$ ^[5]
^ Yan R. Porteous (1995) Klifford algebralari va klassik guruhlar, 22, 24 va 106-betlar, Kembrij universiteti matbuoti ISBN 0-521-55177-3

Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie, Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
Devid A. Brannan, M. F. Esplen va Jeremi J Grey (1999) Geometriya, 39-41 bet Kembrij universiteti matbuoti.
H. S. M. Kokseter (1961) Geometriyaga kirish, p. 130, John Wiley & Sons.

Tashqi havolalar

Vayshteyn, Erik V. "Giperboloid". MathWorld.

[1] K. Strubekker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoek va Ruprext, Göttingen 1967, p. 218

[2] CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116

[3] CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122

[4] Tomas Xokkins (2000) Yolg'on guruhlari nazariyasining paydo bo'lishi: 1869—1926 yillarda matematika tarixidagi insho, §9.3 "Göttingendagi fizikani matematikalash", 340-betga qarang, Springer ISBN 0-387-98963-3

[5] Valter, Skott A. (1999), "Minkovskiy nisbiyligining evklid bo'lmagan uslubi", J. Greyda (tahrir), Ramziy olam: geometriya va fizika 1890-1930 yillar, Oksford universiteti matbuoti, 91–127 betlar

[6] Minkovski "to'rt o'lchovli giperboloid" atamasini faqat o'limdan keyin nashr etilgan yozuv yozuvida ishlatgan va bu nostandart ishlatilgan, chunki Minkovskiyning giperboloidi to'rt o'lchovli Minkovskiy makonining uch o'lchovli pastki katmasi. ${ displaystyle M ^ {4}.}$ ^[5]

[7] Yan R. Porteous (1995) Klifford algebralari va klassik guruhlar, 22, 24 va 106-betlar, Kembrij universiteti matbuoti ISBN 0-521-55177-3

[1]

[2]

[3]

[4]

[6]

[7]

[5]