Darajaviy tuzilish (algebraik geometriya) - Level structure (algebraic geometry)

Yilda algebraik geometriya, a darajadagi tuzilish a bo'sh joy X biriktirilgan qo'shimcha tuzilishdir X kichraytiradi yoki yo'q qiladi avtomorfizm guruhi ning X, darajadagi strukturani saqlab qolish uchun avtomorfizmlarni talab qilish orqali; darajadagi tuzilmani biriktirish ko'pincha quyidagicha ifodalanadi qat'iylashtiruvchi ning geometriyasi X.^[1]^[2]

Ilovalarda, darajadagi struktura qurilishida foydalaniladi moduli bo'shliqlari; moduli maydoni ko'pincha kvant sifatida quriladi. Avtomorfizmlarning mavjudligi a hosil qilishda qiyinchilik tug'diradi miqdor; Shunday qilib, darajadagi tuzilmalarni joriy etish ushbu qiyinchilikni engishga yordam beradi.

Darajali tuzilmaning yagona ta'rifi mavjud emas; aksincha, bo'shliqqa qarab X, biri darajali tuzilish tushunchasini taqdim etadi. Klassikasi bu elliptik egri chiziq (qarang #Misol: abeliya sxemasi ). A ga biriktirilgan darajadagi struktura mavjud rasmiy guruh deb nomlangan Drinfeld darajasining tuzilishi, ichida kiritilgan (Drinfeld 1974 yil ).^[3]

Elliptik egri chiziqlardagi darajali tuzilmalar

Klassik ravishda, elliptik egri chiziqli darajadagi tuzilmalar ${ displaystyle E = mathbb {C} / Lambda}$ navning aniqlovchi panjarasini o'z ichiga olgan panjara bilan beriladi. Elliptik egri chiziqlarning moduli nazariyasidan barcha bunday panjaralarni panjara deb ta'riflash mumkin ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau}$ uchun ${ displaystyle tau in { mathfrak {h}}}$ yuqori yarim tekislikda. Keyinchalik, tomonidan ishlab chiqarilgan panjara ${ displaystyle 1 / n, tau / n}$ barchasini o'z ichiga olgan panjara beradi ${ displaystyle n}$ -elliptik egri chiziqdagi harakatlanish nuqtalari belgilangan ${ displaystyle E [n]}$ . Aslida, bunday panjara ostida o'zgarmasdir ${ displaystyle Gamma (n) subset { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ harakat ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , qayerda

${ displaystyle { begin {aligned} Gamma (n) & = { text {ker}} ({ text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) to { text {SL} } _ {2} ( mathbb {Z} / n)) & = chap {M in { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}): M equiv { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} { text {(mod n)}} right } end {aligned}}}$

shuning uchun u bir nuqtani beradi ${ displaystyle Gamma (n) teskari egilish { mathfrak {h}}}$ ^[4] elliptik egri chiziqlarning N darajali modullar makoni deb nomlangan ${ displaystyle Y (n)}$ , bu a modul egri. Aslida, ushbu modul maydoni biroz ko'proq ma'lumotni o'z ichiga oladi: Vayl juftligi

${ displaystyle e_ {n} chap ({ frac {1} {n}}, { frac { tau} {n}} o'ng) = e ^ {2 pi i / n}}$

da nuqta beradi ${ displaystyle n}$ -birlik ildizlari, demak ${ displaystyle mathbb {Z} / n}$ .

Misol: abeliya sxemasi

Ruxsat bering ${ displaystyle X to S}$ bo'lish abeliya sxemasi uning geometrik tolalari o'lchamga ega g.

Ruxsat bering n har birining qoldiq maydoniga asosiy bo'lgan musbat tamsayı bo'ling s yilda S. Uchun n ≥ 2, a Daraja n-tuzilma bo'limlar to'plamidir ${ displaystyle sigma _ {1}, nuqtalar, sigma _ {2g}}$ shu kabi^[5]

har bir geometrik nuqta uchun ${ displaystyle s: S to X}$ , ${ displaystyle sigma _ {i} (s)}$ buyurtma punktlari guruhi uchun asos bo'lib xizmat qiladi n yilda ${ displaystyle { overline {X}} _ {s}}$ ,
${ displaystyle m_ {n} circ sigma _ {i}}$ identifikatsiya bo'limi, bu erda ${ displaystyle m_ {n}}$ ning ko'paytmasi n.

Shuningdek qarang: modul egri chizig'i # Misollar, elliptik egri chiziqlarning moduli to'plami.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Mumford, Fogarti va Kirvan 1994 yil, Ch. 7.
^ Katz va Mazur 1985 yil, Kirish
^ Deligne, P .; Husemöller, D. (1987). "Drinfeld modullarini o'rganish" (PDF). Tafakkur. Matematika. 67 (1): 25–91. doi:10.1090 / conm / 067/902591.
^ Silverman, Jozef H., 1955- (2009). Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi (2-nashr). Nyu-York: Springer-Verlag. 439-445 betlar. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
^ Mumford, Fogarti va Kirvan 1994 yil, Ta'rif 7.1.

Adabiyotlar

Drinfeld, V. (1974). "Elliptik modullar". Matematik SSSR Sbornik. 23 (4): 561–592. Bibcode:1974SbMat..23..561D. doi:10.1070 / sm1974v023n04abeh001731.
Kats, Nikolas M.; Mazur, Barri (1985). Elliptik egri chiziqlarning arifmetik moduli. Prinston universiteti matbuoti. ISBN 0-691-08352-5.
Xarris, Maykl; Teylor, Richard (2001). Ba'zi oddiy Shimura navlarining geometriyasi va kohomologiyasi. Matematik tadqiqotlar yilnomalari. 151. Prinston universiteti matbuoti. ISBN 978-1-4008-3720-5.
Mumford, Devid; Fogarti, J .; Kirvan, F. (1994). Geometrik o'zgarmas nazariya. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Matematikaning natijalari va turdosh sohalar (2)]. 34 (3-nashr). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. JANOB 1304906.

Qo'shimcha o'qish

Bu algebraik geometriya bilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.

[1] Mumford, Fogarti va Kirvan 1994 yil, Ch. 7.

[2] Katz va Mazur 1985 yil, Kirish

[3] Deligne, P .; Husemöller, D. (1987). "Drinfeld modullarini o'rganish" (PDF). Tafakkur. Matematika. 67 (1): 25–91. doi:10.1090 / conm / 067/902591.

[4] Silverman, Jozef H., 1955- (2009). Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi (2-nashr). Nyu-York: Springer-Verlag. 439-445 betlar. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)

[5] Mumford, Fogarti va Kirvan 1994 yil, Ta'rif 7.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]