Elliptik egri chiziqlarning moduli to'plami - Moduli stack of elliptic curves

Yilda matematika, elliptik egri chiziqlarning moduli to'plami, deb belgilanadi ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ yoki ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {ell}}$ , bu algebraik suyakka ustida ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {Z})}$ elliptik egri chiziqlarni tasniflash. Bu alohida holat ekanligini unutmang Algebraik egri chiziqlar moduli to'plami ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Xususan, uning ba'zi bir sohadagi qiymatlari bo'lgan nuqtalari maydon bo'ylab elliptik egri chiziqlarga va umuman olganda sxemadan morfizmlarga to'g'ri keladi ${ displaystyle S}$ unga elliptik egri chiziqlar mos keladi ${ displaystyle S}$ . Ushbu makonning qurilishi bir asrdan ko'proq vaqtni tashkil etadi, chunki maydon rivojlanib borishi bilan elliptik egri chiziqlar turli xil umumlashtiriladi. Ushbu umumlashtirishlarning barchasi tarkibida mavjud ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ .

Xususiyatlari

Silliq Deligne-Mumford to'plami

Elliptik egri chiziqlarning moduli to'plami bir-biridan ajratilgan Deligne-Mumford stack cheklangan turdagi ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {Z})}$ , lekin bu sxema emas, chunki elliptik egri chiziqlar ahamiyatsiz bo'lmagan otomorfizmlarga ega.

j-o'zgarmas

Ning tegishli morfizmi mavjud ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ affin chizig'iga, tomonidan berilgan elliptik egri chiziqlarning qo'pol moduli fazosi j-variant egri chiziq egri chizig'ining

Kompleks sonlar ustida qurilish

Bu har qanday elliptik egri chiziqni bosib o'tgan klassik kuzatuv ${ displaystyle mathbb {C}}$ tomonidan tasniflanadi davrlar. Uning ajralmas homologiyasi uchun asos berilgan ${ displaystyle alpha, beta in H_ {1} (E, mathbb {Z})}$ va global holomorfik differentsial shakl ${ displaystyle omega in Gamma (E, Omega _ {E} ^ {1})}$ (u silliq bo'lgani uchun mavjud va bunday differentsiallar makonining o'lchami $ ga teng tur, 1), integrallar

${ displaystyle { begin {bmatrix} int _ { alpha} omega & int _ { beta} omega end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} omega _ {1} & omega _ {2} end {bmatrix}}}$

a uchun generatorlarni bering ${ displaystyle mathbb {Z}}$ - ichidagi 2-darajali tepalik ${ displaystyle mathbb {C}}$ ^[1] ^158-bet. Aksincha, integral panjara berilgan ${ displaystyle Lambda}$ daraja ${ displaystyle 2}$ ichida ${ displaystyle mathbb {C}}$ , murakkab torusning joylashtirilishi mavjud ${ displaystyle E _ { Lambda} = mathbb {C} / Lambda}$ ichiga ${ displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ dan Weierstrass P funktsiyasi^[1] ^165-bet. Bu izomorfik yozishmalar ${ displaystyle phi: mathbb {C} / Lambda dan E ( mathbb {C})} ga$ tomonidan berilgan

${ displaystyle z mapsto [ wp (z, Lambda), wp '(z, Lambda), 1] in mathbb {P} ^ {2} ( mathbb {C})}$

va ushlab turadi bir xillik panjara ${ displaystyle Lambda}$ , bu ekvivalentlik munosabati

${ displaystyle z Lambda sim Lambda}$ uchun ${ displaystyle z in mathbb {C} - {0 }}$

Keyin panjara shaklida yozish odatiy holdir ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau}$ uchun ${ displaystyle tau in { mathfrak {h}}}$ , ning elementi yuqori yarim tekislik, chunki panjara ${ displaystyle Lambda}$ bilan ko'paytirilishi mumkin edi ${ displaystyle omega _ {1} ^ {- 1}}$ va ${ displaystyle tau, - tau}$ ikkalasi ham bir xil subtitr yaratadi. Keyinchalik, yuqori yarim tekislik barcha elliptik egri chiziqlarning parametr maydonini beradi ${ displaystyle mathbb {C}}$ . Ning harakati bilan berilgan egri chiziqlarning qo'shimcha ekvivalenti mavjud

${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) = left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in { text {Mat} } _ {2,2} ( mathbb {Z}): ad-bc = 1 o'ng }}$

bu erda panjara bilan aniqlangan elliptik egri chiziq ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau}$ panjara bilan belgilangan egri chiziqlar uchun izomorfikdir ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau '}$ tomonidan berilgan modulli harakat

${ displaystyle { begin {aligned} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot tau & = { frac {a tau + b} {c tau + d}} & = tau ' end {hizalangan}}}$

Keyin elliptik egri chiziqlarning moduli to'plami tugadi ${ displaystyle mathbb {C}}$ stack quotient tomonidan berilgan

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1} cong [{ text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) backslash { mathfrak {h}}]}$

E'tibor bering, ba'zi mualliflar ushbu modul makonini aksi yordamida Modulli guruh ${ displaystyle { text {PSL}} _ {2} ( mathbb {Z}) = { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) / { pm I }}$ . Bunday holda, ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ faqat ahamiyatsiz stabilizatorlar zich.

Stacky / Orbifold ballari

Umuman olganda, ballar ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ tasniflovchi stek uchun izomorfdir ${ displaystyle B ( mathbb {Z} / 2)}$ chunki har bir elliptik egri chiziqning ikki qavatli qopqog'iga to'g'ri keladi ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ , shuning uchun ${ displaystyle mathbb {Z} / 2}$ - nuqta bo'yicha harakatlanish qoplamaning ushbu ikki novdasi involyutsiyasiga to'g'ri keladi. Bir nechta maxsus fikrlar mavjud^[2] ^{10-11 bet} bilan elliptik egri chiziqlarga mos keladi ${ displaystyle j}$ -variant ga teng ${ displaystyle 1728}$ va ${ displaystyle 0}$ bu erda avtomorfizm guruhlari navbati bilan 4, 6 tartibda^[3] ^{pg 170}. Bir nuqta Asosiy domen buyurtma stabilizatori bilan ${ displaystyle 4}$ ga mos keladi ${ displaystyle tau = i}$ va buyurtmaning stabilizatoriga mos keladigan ballar ${ displaystyle 6}$ mos keladi ${ displaystyle tau = e ^ {2 pi i / 3}, e ^ { pi i / 3}}$ ^[4]^78-bet.

Tekislik egri chiziqlarining muallimligini aks ettirish

Uning tekislik egri chizig'i berilgan Vaystrassass tenglamasi

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$

va echim ${ displaystyle (t, s)}$ , umumiy tarzda j-o'zgarmas ${ displaystyle j neq 0,1728}$ bor ${ displaystyle mathbb {Z} / 2}$ -involyutsiyani yuborish ${ displaystyle (t, s) mapsto (t, -s)}$ . Bilan egri chiziqning maxsus holatida murakkab ko'paytirish

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax}$

u erda ${ displaystyle mathbb {Z} / 4}$ -involyutsiyani yuborish ${ displaystyle (t, s) mapsto (-t, { sqrt {-1}} cdot s)}$ . Boshqa maxsus holat - qachon ${ displaystyle a = 0}$ , shuning uchun shaklning egri chizig'i

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + b}$

bor ${ displaystyle mathbb {Z} / 6}$ -involyutsiyani yuborish ${ displaystyle (t, s) mapsto ( zeta _ {3} s, -t)}$ qayerda ${ displaystyle zeta _ {3}}$ uchinchisi birlikning ildizi ${ displaystyle e ^ {2 pi i / 3}}$ .

Asosiy domen va vizualizatsiya

Yuqoridagi yarim tekislikning pastki qismi mavjud Asosiy domen bu elliptik egri chiziqlarning har qanday izomorfizm sinfini o'z ichiga oladi. Bu pastki qism

${ displaystyle D = {z in { mathfrak {h}}: | z | geq 1 { text {and}} { text {Re}} (z) leq 1/2 }}$

Ushbu bo'shliqni ko'rib chiqish foydalidir, chunki u stekni tasavvur qilishga yordam beradi ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ . Keltirilgan xaritadan

${ displaystyle { mathfrak {h}} to { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) backslash { mathfrak {h}}}$

ning tasviri ${ displaystyle D}$ sur'ektiv va uning ichki qismi injektivdir^[4]^78-bet. Shuningdek, chegaradagi nuqtalarni involyutsiyani yuborish ostidagi oynali tasviri bilan aniqlash mumkin ${ displaystyle { text {Re}} (z) mapsto - { text {Re}} (z)}$ , shuning uchun ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ proektsion egri chiziq sifatida tasavvur qilish mumkin ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ cheksiz holda olib tashlangan nuqta bilan^[5]^52-bet.

Chiziqli to'plamlar va modulli funktsiyalar

Chiziqli to'plamlar mavjud ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { otimes k}}$ moduli to'plami ustida ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ uning bo'limlari mos keladi modulli funktsiyalar ${ displaystyle f}$ yuqori yarim tekislikda ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Yoqilgan ${ displaystyle mathbb {C} times { mathfrak {h}}}$ lar bor ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ -dagi harakatga mos keladigan harakatlar ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) times { displaystyle mathbb {C} times { mathfrak {h}}} to { displaystyle mathbb {C } times { mathfrak {h}}}}$

Darajasi ${ displaystyle k}$ harakat tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} :( z, tau) mapsto left ((c tau + d) ^ {k} z, { frac {a tau + b} {c tau + d}} o'ng)}$

shuning uchun ahamiyatsiz chiziqlar to'plami ${ displaystyle mathbb {C} times { mathfrak {h}} to { mathfrak {h}}}$ daraja bilan ${ displaystyle k}$ aksiya belgilangan yagona satr to'plamiga tushadi ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { otimes k}}$ . Faktor bo'yicha harakatlarga e'tibor bering ${ displaystyle mathbb {C}}$ a vakillik ning ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ kuni ${ displaystyle mathbb {Z}}$ shuning uchun bunday vakolatxonalarni birgalikda ko'rsatish mumkin ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { otimes k} otimes { mathcal {L}} ^ { otimes l} cong { mathcal {L}} ^ { otimes (k + l)} }$ . Bo'limlari ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { otimes k}}$ keyin funktsiyalar bo'limlari ${ displaystyle f in Gamma ( mathbb {C} times { mathfrak {h}})}$ ning harakatiga mos keladi ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ yoki shunga o'xshash funktsiyalar ${ displaystyle f: { mathfrak {h}} to mathbb {C}}$ shu kabi

${ displaystyle f left ({ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot tau right) = (c tau + d) ^ {k} f ( tau)}$

Bu holomorfik funktsiya uchun modulli bo'lish sharti.

Modulli shakllar

Modulli shakllar - bu ixchamlashtirishga qadar kengaytiriladigan modulli funktsiyalar

${ displaystyle { overline {{ mathcal {L}} ^ { otimes k}}} to { overline { mathcal {M}}} _ {1,1}}$

Buning sababi, to'plamni ixchamlashtirish uchun ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ , abadiylik nuqtasini qo'shish kerak, bu esa yopishtirish jarayonida yopishtirish orqali amalga oshiriladi ${ displaystyle q}$ -disk (bu erda modulli funktsiya unga ega ${ displaystyle q}$ - kengayish)^[2]^{29-33-sahifalar}.

Umumjahon egri chiziqlar

Umumjahon egri chiziqlarni qurish ${ displaystyle { mathcal {E}} to { mathcal {M}} _ {1,1}}$ ikki bosqichli jarayon: (1) teskari egri chiziqni qurish ${ displaystyle { mathcal {E}} _ { mathfrak {h}} to { mathfrak {h}}}$ va keyin (2) bu o'zlarini yaxshi tutishini ko'rsatadi ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ -harakat yoqilgan ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Ushbu ikkita harakatni birlashtirib, to'plamlar to'plami hosil bo'ladi

${ displaystyle [({ text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) ltimes mathbb {Z} ^ {2}) backslash mathbb {C} times { mathfrak {h} }]}$

Versal egri

Har bir daraja 2 ${ displaystyle mathbb {Z}}$ -toshxona ${ displaystyle mathbb {C}}$ kanonikani keltirib chiqaradi ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ -harakat yoqilgan ${ displaystyle mathbb {C}}$ . Oldingi kabi, chunki har bir panjara shaklning panjarasiga homotetikdir ${ displaystyle (1, tau)}$ keyin harakat ${ displaystyle (m, n)}$ nuqta yuboradi ${ displaystyle z in mathbb {C}}$ ga

${ displaystyle (m, n) cdot z mapsto z + m cdot 1 + n cdot tau}$

Chunki ${ displaystyle tau}$ yilda ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ bu harakatda farq qilishi mumkin, induksiya mavjud ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ -harakat yoqilgan ${ displaystyle mathbb {C} times { mathfrak {h}}}$

${ displaystyle (m, n) cdot (z, tau) mapsto (z + m cdot 1 + n cdot tau, tau)}$

bo'sh joyni berish

${ displaystyle { mathcal {E}} _ { mathfrak {h}} to { mathfrak {h}}}$

ustiga loyihalash orqali ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ .

SL₂- Z bo'yicha harakat²

Bor ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ -harakat yoqilgan ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ harakatiga mos keladigan ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , nuqta berilgan ma'no ${ displaystyle z in { mathfrak {h}}}$ va a ${ displaystyle g in { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ , yangi panjara ${ displaystyle g cdot z}$ va kelib chiqqan harakat ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2} cdot g}$ , bu kutilganidek o'zini tutadi. Ushbu harakat tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} :( m, n) mapsto (m, n) cdot { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} }$

bu o'ngdagi matritsani ko'paytirish, shuning uchun

${ displaystyle (m, n) cdot { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = (am + cn, bm + dn)}$

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b Silverman, Jozef H., 1955- (2009). Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi (2-nashr). Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
^ ^a ^b Hain, Richard (2014-03-25). "Elliptik egri chiziqlarning moduli bo'shliqlari bo'yicha ma'ruzalar". arXiv:0812.1803 [math.AG ].
^ Galbrayt, Stiven. "Elliptik egri chiziqlar" (PDF). Arxivlandi asl nusxadan boshlab | arxiv-url = talab qiladi | arxiv-sana = (Yordam bering).
^ ^a ^b Serre, Jan-Per. (1973). Arifmetikadan dars. Nyu-York, Nyu-York: Springer Nyu-York. ISBN 978-1-4684-9884-4. OCLC 853266550.
^ "3: Elliptik egri chiziqlarning Moduli to'plami". Topologik modulli shakllar (PDF). Duglas, Kristofer L. ,, Frensis, Jon, 1982-, Henriques, André G. (André Gil), 1977-, Hill, Maykl A. (Maykl Entoni). Providens, Rod-Aylend. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304. Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2020 yil 9-iyunda.CS1 maint: boshqalar (havola)

Hain, Richard (2008), Elliptik egri chiziqlarning moduli bo'shliqlari bo'yicha ma'ruzalar, arXiv:0812.1803, Bibcode:2008arXiv0812.1803H
Lurie, Jeykob (2009), Elliptik kohomologiya bo'yicha tadqiqot (PDF)
Olsson, Martin (2016), Algebraik bo'shliqlar va to'plamlar, Kollokvium nashrlari, 62, Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-1470427986

Tashqi havolalar

elliptik + egri chiziqlarning modullari + to'plami yilda nLab
"Elliptik egri chiziqlarning moduli to'plami", Stacks loyihasi

[:0-1] Silverman, Jozef H., 1955- (2009). Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi (2-nashr). Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)

[:2-2] Hain, Richard (2014-03-25). "Elliptik egri chiziqlarning moduli bo'shliqlari bo'yicha ma'ruzalar". arXiv:0812.1803 [math.AG ].

[3] Galbrayt, Stiven. "Elliptik egri chiziqlar" (PDF). Arxivlandi asl nusxadan boshlab | arxiv-url = talab qiladi | arxiv-sana = (Yordam bering).

[:1-4] Serre, Jan-Per. (1973). Arifmetikadan dars. Nyu-York, Nyu-York: Springer Nyu-York. ISBN 978-1-4684-9884-4. OCLC 853266550.

[5] "3: Elliptik egri chiziqlarning Moduli to'plami". Topologik modulli shakllar (PDF). Duglas, Kristofer L. ,, Frensis, Jon, 1982-, Henriques, André G. (André Gil), 1977-, Hill, Maykl A. (Maykl Entoni). Providens, Rod-Aylend. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304. Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2020 yil 9-iyunda.CS1 maint: boshqalar (havola)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]