Haqida maqolalar turkumining bir qismi |
Hisoblash |
---|
|
|
| Ta'riflar |
---|
| Integratsiya tomonidan |
---|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yilda hisob-kitob, Leybnitsning umumiy qoidasi,[1] nomi bilan nomlangan Gotfrid Vilgelm Leybnits, umumlashtirmoqda mahsulot qoidasi (bu "Leybnits qoidasi" nomi bilan ham tanilgan). Unda aytilganidek
va
bor
- marta farqlanadigan funktsiyalar, keyin mahsulot
ham
-times farqlanadigan va uning
lotin tomonidan berilgan
![{ displaystyle (fg) ^ {(n)} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n ni tanlang k} f ^ {(n-k)} g ^ {(k)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5fbf529aa458b37f32e4cf1839132d83af06e8)
qayerda
bo'ladi binomial koeffitsient va
belgisini bildiradi jning hosilasi f (va xususan
).
Qoidani mahsulot qoidasi va yordamida isbotlash mumkin matematik induksiya.
Ikkinchi lotin
Agar, masalan, n = 2, qoida ikkita funktsiya hosilasining ikkinchi hosilasi uchun ifoda beradi:
![{ displaystyle (fg) '' (x) = sum limitlar _ {k = 0} ^ {2} {{ binom {2} {k}} f ^ {(2-k)} (x) g ^ {(k)} (x)} = f '' (x) g (x) + 2f '(x) g' (x) + f (x) g '' (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b891fa0132b569683c94a9fbd3a32c025996911)
Ikkita omil
Formulani ning mahsulotiga umumlashtirish mumkin m farqlanadigan funktsiyalar f1,...,fm.
![chap (f_ {1} f_ {2} cdots f_ {m} right) ^ {(n)} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} = n } {n k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} prod _ {1 leq t leq m} f_ {t} ^ {(k_ {t})}} ni tanlang, ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ddac51dd078e1e5f095a0e67c853c6bb278bf0)
bu erda summa hamma narsaga to'g'ri keladi m-uplar (k1,...,km) bilan manfiy bo'lmagan tamsayılar
va
![{ displaystyle {n k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} = { frac {n!} {k_ {1}! , k_ {2}! cdots k_ {ni tanlang m}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7165fdb93f8d28ab738a85570ce10529dcdad8)
ular multinomial koeffitsientlar. Bu shunga o'xshash multinomial formula algebradan.
Isbot
Leybnitsning umumiy qoidasini isbotlash induksiya bilan davom etadi. Ruxsat bering
va
bo'lishi
-times farqlanadigan funktsiyalar. Qachon asosiy ish
da'vo qilmoqda:
![{ displaystyle (fg) '= f'g + fg',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58d30b80dd780ca4bd593f0d1960ae928113562)
bu odatiy mahsulot qoidasi va haqiqat ekanligi ma'lum. So'ngra, bayonot sobit bo'lgan deb hisoblang
bu degani
![{ displaystyle (fg) ^ {(n)} = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k)}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac28152884f452b42b5bcf412edb7f0ad8635d39)
Keyin,
![{ displaystyle { begin {aligned} (fg) ^ {(n + 1)} & = left [ sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ { (nk)} g ^ {(k)} right] ' & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k )} g ^ {(k)} + sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k + 1)} & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + sum _ {k = 1 } ^ {n + 1} { binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} & = { binom {n} {0} } f ^ {(n + 1)} g + sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k) } + sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + { binom {n } {n}} fg ^ {(n + 1)} & = f ^ {(n + 1)} g + chap ( sum _ {k = 1} ^ {n} left [{ binom { n} {k-1}} + { binom {n} {k}} right] f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} right) + fg ^ {(n +) 1)} & = f ^ {(n + 1)} g + sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k )} g ^ {(k)} + fg ^ {(n + 1)} & = sum _ {k = 0} ^ {n + 1} { binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)}. end {hizalangan}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c5c929b300bfa433af2e1cc52ad37ede6e2da4)
Va shuning uchun bayonot uchun amal qiladi
va dalil to'liq.
Ko'p o'zgaruvchan hisoblash
Bilan ko'p ko'rsatkichli uchun yozuv qisman hosilalar Leybnits qoidasida bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyalari quyidagicha ifodalanadi:
![{ displaystyle kısalt ^ { alpha} (fg) = sum _ { beta ,: , beta leq alpha} { alpha select beta} ( qismli ^ { beta} f) ( qismli ^ { alfa - beta} g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5c0da3e788d6e7e6d23af152f454a485c77a47)
Ushbu formuladan hisoblab chiqadigan formulani olish uchun foydalanish mumkin belgi differentsial operatorlar tarkibi. Aslida, ruxsat bering P va Q differentsial operatorlar bo'ling (koeffitsientlari etarlicha ko'p marta farqlanadigan) va
Beri R ning belgisi ham differentsial operatordir R tomonidan berilgan:
![R (x, xi) = e ^ {- { langle x, xi rangle}} R (e ^ { langle x, xi rangle}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6a3478fb3d358beff45a19c0eff689bbca23f8)
To'g'ridan-to'g'ri hisoblash endi quyidagilarni beradi.
![R (x, xi) = sum _ _ alfa} {1 over alfa!} Chap ({ qism over qism xi} o'ng) ^ { alfa} P (x, xi) ) chap ({ qismli ustidan qisman x} o'ng) ^ { alfa} Q (x, xi).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fb38e11e39df02c5d28b4c344f450a0609d504)
Ushbu formula odatda Leybnits formulasi sifatida tanilgan. Bu ramzlar oralig'ida kompozitsiyani aniqlash uchun ishlatiladi va shu bilan halqa tuzilishini keltirib chiqaradi.
Shuningdek qarang
Adabiyotlar